Log(sqrt(6), 3) log(3, 36) log(sqrt(3), 8) log(4, 81)

Чтобы найти значение данного выражения, перемножим последовательно все логарифмы. Исходное выражение: ${\log }_{\sqrt{6}}3\cdot {\log }_{3}36\cdot {\log }_{\sqrt{3}}8\cdot {\log }_{4}81$ Шаг 1: Упрощение каждого логарифма Для решения воспользуемся свойствами логарифма: ${\log }_{a^n}{b}^m=\frac{m}{n}{\log }_{a}b$ и ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ .

1. Первый множитель: ${\log }_{\sqrt{6}}3$
   Представим основание как $6^{1/2}$:
   ${\log }_{6^{1/2}}3=2{\log }_{6}3$ Второй множитель: ${\log }_{3}36$
   Представим $36$ как $6^2$:
   ${\log }_3{6}^2=2{\log }_{3}6$ Третий множитель: ${\log }_{\sqrt{3}}8$
   Представим основание как $3^{1/2}$ и число как $2^3$:
   ${\log }_{3^{1/2}}{2}^3=\frac{3}{1/2}{\log }_{3}2=6{\log }_{3}2$ Четвертый множитель: ${\log }_{4}81$
   Представим основание как $2^2$ и число как $3^4$:
   ${\log }_{2^2}{3}^4=\frac{4}{2}{\log }_{2}3=2{\log }_{2}3$

Шаг 2: Перемножение упрощенных выражений Теперь подставим полученные значения в общее произведение: $\left(2{\log }_{6}3\right)\cdot \left(2{\log }_{3}6\right)\cdot \left(6{\log }_{3}2\right)\cdot \left(2{\log }_{2}3\right)$Сгруппируем числовые коэффициенты и логарифмы: $(2\cdot 2\cdot 6\cdot 2)\cdot ({\log }_{6}3\cdot {\log }_{3}6)\cdot ({\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}3)$Шаг 3: Вычисление финального результата

1. Числа: $2\cdot 2\cdot 6\cdot 2=48$ Первая пара логарифмов: ${\log }_{6}3\cdot {\log }_{3}6=1$ (так как это взаимно обратные величины). Вторая пара логарифмов: ${\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}3=1$ (аналогично).

Итого: $48\cdot 1\cdot 1=48$Ответ: 48 Я могу составить для вас аналогичный проверочный тест на свойства логарифмов или разобрать более сложные уравнения с разными основаниями. Хотите продолжить практику?