Решите уравнение, используя введение новой переменой. а) (2х^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0 б) (t^2-2t)^2-3=2(t^2-2t)=0

Для уравнения а) решениями являются $x=-2$ и $x=2$, а для уравнения б) корнями служат $t=-1$, $t=1$ и $t=3$. Шаг 1: Решение уравнения а) Заметим повторяющееся выражение и введем новую переменную $y=2x^2+3$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного: $y^2-12y+11=0$ Используя теорему Виета, находим корни этого уравнения: $y_1=11$ и $y_2=1$. Теперь выполним обратную замену для каждого случая:

1. Если $y=11$, то $2x^2+3=11⟹2x^2=8⟹x^2=4$. Отсюда $x=\pm 2$. Если $y=1$, то $2x^2+3=1⟹2x^2=-2⟹x^2=-1$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Шаг 2: Решение уравнения б) Приведем уравнение $(t^2-2t{)}^2-3=2(t^2-2t)$ к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть: $(t^2-2t{)}^2-2(t^2-2t)-3=0$ Введем замену $u=t^2-2t$. Получаем квадратное уравнение относительно $u$: $u^2-2u-3=0$ Корни по теореме Виета: $u_1=3$ и $u_2=-1$. Перейдем обратно к переменной $t$:

1. $t^2-2t=3⟹t^2-2t-3=0$. Находим корни: $t_1=3$, $t_2=-1$. $t^2-2t=-1⟹t^2-2t+1=0$. Это выражение является полным квадратом $(t-1{)}^2=0$, откуда $t_3=1$.

Ответ: а) x = -2, x = 2 б) t = -1, t = 1, t = 3 Нужно ли разобрать аналогичные примеры с дробно-рациональными уравнениями или системный подход к поиску области допустимых значений?