Log125 x^9 - logx 5 + 2 = 0

Для решения уравнения ${\log }_{125}{x}^9-{\log }_{x}5+2=0$ воспользуемся свойствами логарифмов и приведем их к одному основанию. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент и основание логарифма должны удовлетворять следующим условиям:

• $x^9>0⟹x>0$ $x>0$ и $x\ne 1$ (так как $x$ находится в основании логарифма)

ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$ 2. Преобразование логарифмов Приведем все логарифмы к основанию $5$. Первое слагаемое: Используем формулу ${\log }_{a^n}{b}^m=\frac{m}{n}{\log }_{a}b$ : ${\log }_{125}{x}^9={\log }_{5^3}{x}^9=\frac{9}{3}{\log }_{5}x=3{\log }_{5}x$ Второе слагаемое: Используем формулу перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ : ${\log }_{x}5=\frac{1}{{\log }_{5}x}$ 3. Решение уравнения Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение: $3{\log }_{5}x-\frac{1}{{\log }_{5}x}+2=0$ Введем замену переменной: пусть $t={\log }_{5}x$. При этом $t\ne 0$ (так как $x\ne 1$). $3t-\frac{1}{t}+2=0$ Умножим всё уравнение на $t$: $3t^2+2t-1=0$Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16$ $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-2\pm 4}{6}$

• $t_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
• $t_2=\frac{-6}{6}=-1$

4. Обратная замена Теперь найдем $x$ для каждого значения $t$:

1. ${\log }_{5}x=\frac{1}{3}$
   $x_1=5^{1/3}=\sqrt[3]{5}$ ${\log }_{5}x=-1$
   $x_2=5^{-1}=\frac{1}{5}=0,2$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ ( $x>0,x\ne 1$). Ответ: $0,2;\sqrt[3]{5}$ Могу ли я помочь с решением других логарифмических уравнений или систем?