N^4+1^4, чему равно?

Выражение $n^4+1$ (или $n^4+1^4$) является классическим примером в алгебре, который не разлагается на множители с рациональными коэффициентами обычным способом, но поддается разложению методом дополнения до полного квадрата. Этот метод часто называют тождеством Софи Жермен. Разложение на множители Чтобы разложить это выражение, мы добавим и вычтем слагаемое $2n^2$:

1. Дополнение до квадрата:
   $n^4+2n^2+1-2n^2$ Группировка:
   $(n^4+2n^2+1)-2n^2$ Свертывание квадрата суммы:
   $(n^2+1{)}^2-2n^2$ Применение разности квадратов:
   Так как $2n^2=(\sqrt{2}n{)}^2$ , мы получаем:
   $(n^2+1-\sqrt{2}n)(n^2+1+\sqrt{2}n)$

Свойства выражения

• Корни уравнения: Если приравнять $n^4+1=0$, то корнями будут комплексные числа:
  $n=e^{i(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2})}\text{для}k=0,1,2,3$ В декартовых координатах это: $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\pm i\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Четность: При любом целом $n$ выражение всегда будет нечетным, если $n$ четное, и четным, если $n$ нечетное. Остатки: $n^4+1$ никогда не делится на 5, если $n$ оканчивается на 0, 1, 2, 3, 4 и т.д., за исключением случаев, когда $n$ оканчивается на специфические цифры в других системах счисления. В десятичной системе $n^4$ всегда оканчивается на 0, 1, 5 или 6, поэтому $n^4+1$ оканчивается на 1, 2, 6 или 7.

Таблица значений для малых $n$

Я могу построить график этой функции для вас или найти производную и интеграл, если это необходимо.