Найдите наименьшее значение функции:у=4х^3-9х^2+13 на отрезке [1,3]

Наименьшее значение функции $y=4x^3-9x^2+13$ на отрезке $[1,3]$ равно 8. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на экстремумы найдем её производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$: $y^{\prime }=(4x^3-9x^2+13{)}^{\prime }=12x^2-18x$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых наклон касательной равен нулю: $12x^2-18x=0$ Вынесем общий множитель $6x$ за скобки: $6x(2x-3)=0$ Отсюда получаем два корня:

1. $x_1=0$ $2x=3x_2=1,5$

️ Шаг 3: Отбор точек на заданном отрезке Проверим, какие из найденных точек принадлежат отрезку $[1,3]$:

• $x_1=0$ не принадлежит отрезку $[1,3]$. $x_2=1,5$ принадлежит отрезку $[1,3]$.

️ Шаг 4: Вычисление значений функции Вычислим значения функции $y\left(x\right)$ в критической точке $x=1,5$ и на концах отрезка ( $x=1$ и $x=3$):

1. В точке $x=1$:
   $y\left(1\right)=4\cdot 1^3-9\cdot 1^2+13=4-9+13=8$ В точке $x=1,5$:
   $y(1,5)=4\cdot (1,5{)}^3-9\cdot (1,5{)}^2+13=4\cdot 3,375-9\cdot 2,25+13=13,5-20,25+13=6,25$ В точке $x=3$:
   $y\left(3\right)=4\cdot 3^3-9\cdot 3^2+13=4\cdot 27-9\cdot 9+13=108-81+13=40$

️ Шаг 5: Выбор наименьшего значения Сравним полученные результаты: $y\left(1\right)=8$, $y(1,5)=6,25$, $y\left(3\right)=40$. Наименьшим из них является 6,25. Однако, если перепроверить расчет $y\left(1\right)$, получается $8$. Проверим еще раз $y(1,5)$: $13,5-20,25+13=26,5-20,25=6,25$. Исправление: При сравнении значений $8$, $6,25$ и $40$, наименьшим является 6,25. Ответ: Наименьшее значение функции на данном отрезке составляет 6,25. Нужно ли вам найти наибольшее значение этой же функции на указанном интервале?