Найдите общий вид первообразной для функции:f(x)=корень из 7х+1

Общим видом первообразной для функции $f\left(x\right)=\sqrt{7x+1}$ является функция $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{21}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}}\mathbf{+}\mathbf{C}$ . Шаг 1: Представление функции в степенном виде Для удобства интегрирования перепишем иррациональное выражение $\sqrt{7x+1}$ в виде степени. Согласно свойствам корней, $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ . Таким образом: $f\left(x\right)=(7x+1{)}^{1/2}$ Шаг 2: Применение правила нахождения первообразной Для функции вида $(ax+b{)}^n$ общая формула первообразной имеет вид: $\int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}+C$ В данном случае коэффициенты равны $a=7$, $b=1$, а показатель степени $n=1/2$. Подставим эти значения в формулу: $F\left(x\right)=\frac{(7x+1{)}^{1/2+1}}{7\cdot (1/2+1)}+C$ Шаг 3: Упрощение выражения Выполним арифметические действия в показателе и знаменателе:

1. Сумма в показателе: $1/2+1=3/2$. Знаменатель: $7\cdot 3/2=21/2=10.5$.
   Подставляем результат:
   $F\left(x\right)=\frac{(7x+1{)}^{3/2}}{10.5}+C=\frac{2}{21}(7x+1{)}^{3/2}+C$
   Для окончательного вида вернемся к записи через корень: $(7x+1{)}^{3/2}=\sqrt{(7x+1{)}^3}$ .

Ответ: $\mathbf{F}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{21}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}}\mathbf{+}\mathbf{C}$ Нужно ли вам проверить полученный результат путем дифференцирования или найти частную первообразную для конкретной точки?