Найдите производную 1/cos^2x

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ можно воспользоваться двумя способами: правилом дифференцирования сложной функции или правилом производной частного. Способ 1: Использование правила сложной функции Представим функцию в виде степени: $f\left(x\right)=(\cos x{)}^{-2}$Согласно правилу дифференцирования степенной функции $(u^n{)}^{\prime }=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$, получаем:

1. Выносим показатель степени вперед и уменьшаем его на единицу:
   $-2\cdot (\cos x{)}^{-3}$ Умножаем на производную внутренней функции $\left(\cos x\right)$:
   $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ Собираем выражение воедино:
   $f^{\prime }\left(x\right)=-2\cdot (\cos x{)}^{-3}\cdot (-\sin x)$ Упрощаем:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$

Способ 2: Использование правила производной частного Формула производной частного: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ . В нашем случае $u=1$, а $v={\cos }^{2}x$.

1. Производная числителя $u^{\prime }=(1{)}^{\prime }=0$. Производная знаменателя $v^{\prime }=({\cos }^{2}x{)}^{\prime }=2\cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x$. Подставляем в формулу:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{0\cdot {\cos }^{2}x-1\cdot \left(-2\sin x\cos x\right)}{({\cos }^{2}x{)}^2}$ Упрощаем числитель и знаменатель:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{4}x}$ Сокращаем на $\cos x$:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$

Итоговый ответ: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$ Иногда ответ записывают через тангенс и секанс для удобства: $f^{\prime }\left(x\right)=2\tan x\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}=2\tan x{\sec }^{2}x$ Я могу также вычислить производную этой функции в конкретной точке или найти неопределенный интеграл от этого выражения, если это потребуется.