Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=x^3-12x

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-2]$ и $[2,+\infty )$, а убывает на промежутке $[-2,2]$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для определения промежутков монотонности необходимо найти производную функции $y=x^3-12x$. Используем правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^3-12x{)}^{\prime }=3x^2-12$Шаг 2: Поиск критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае функция определена на всей числовой прямой: $3x^2-12=0$ $3x^2=12$ $x^2=4$ $x_1=-2,x_2=2$Шаг 3: Определение знаков производной на интервалах Разделим область определения на интервалы точками $-2$ и $2$ и определим знак $y^{\prime }=3(x^2-4)$ на каждом из них:

1. На интервале $(-\infty ,-2)$: возьмем $x=-3$. $y^{\prime }\left(-3\right)=3\left(9\right)-12=15>0$. Производная положительна, функция возрастает. На интервале $(-2,2)$: возьмем $x=0$. $y^{\prime }\left(0\right)=0-12=-12<0$. Производная отрицательна, функция убывает. На интервале $(2,+\infty )$: возьмем $x=3$. $y^{\prime }\left(3\right)=3\left(9\right)-12=15>0$. Производная положительна, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает при $x\in (-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$ и убывает при $x\in [-2,2]$. Хотите также найти координаты точек экстремума (локального максимума и минимума) для этой функции?