Найти неопределённый интеграл s( (sinx) * (e^2x) )dx

Для вычисления интеграла $I=\int e^{2x}\sin \left(x\right)dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $\int udv=uv-\int vdu$Шаг 1: Первое интегрирование по частям Пусть:

• $u=\sin \left(x\right)⟹du=\cos \left(x\right)dx$ $dv=e^{2x}dx⟹v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$

Применяем формулу: $I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\sin \left(x\right)-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}\cos \left(x\right)dx$ Вынесем константу: $I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\sin \left(x\right)-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos \left(x\right)dx$ Шаг 2: Второе интегрирование по частям Применим метод еще раз для интеграла $\int e^{2x}\cos \left(x\right)dx$:

• $u=\cos \left(x\right)⟹du=-\sin \left(x\right)dx$ $dv=e^{2x}dx⟹v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$

Получаем: $\int e^{2x}\cos \left(x\right)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}\cos \left(x\right)-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}(-\sin (x\left)\right)dx$ $\int e^{2x}\cos \left(x\right)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}\cos \left(x\right)+\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin \left(x\right)dx$ Заметим, что в правой части снова появился исходный интеграл $I$. Шаг 3: Составление уравнения Подставим полученное выражение во второе уравнение Шага 1: $I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\sin \left(x\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\cos \right(x)+\frac{1}{2}I)$ Раскроем скобки: $I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\sin \left(x\right)-\frac{1}{4}{e}^{2x}\cos \left(x\right)-\frac{1}{4}I$ Перенесем все члены с $I$ в левую часть уравнения: $I+\frac{1}{4}I=\frac{1}{2}{e}^{2x}\sin \left(x\right)-\frac{1}{4}{e}^{2x}\cos \left(x\right)$ $\frac{5}{4}I=\frac{e^{2x}}{4}\left(2\sin \right(x)-\cos (x\left)\right)$ Шаг 4: Окончательный результат Умножим обе стороны на $\frac{4}{5}$ и добавим произвольную константу $C$: $I=\frac{4}{5}\cdot \frac{e^{2x}}{4}\left(2\sin \right(x)-\cos (x\left)\right)+C$ $I=\frac{e^{2x}\left(2\sin \right(x)-\cos (x\left)\right)}{5}+C$ Ответ: $\int e^{2x}\sin \left(x\right)dx=\frac{e^{2x}}{5}\left(2\sin \right(x)-\cos (x\left)\right)+C$ Хотите, чтобы я проверил этот результат путем дифференцирования или решил аналогичный пример с другими коэффициентами?