(sinx – 1)(2cos + 1)/√(tgx)=0

Для решения уравнения $\frac{(\sin x-1)(2\cos x+1)}{\sqrt{\tan x}}=0$ необходимо последовательно учесть область допустимых значений (ОДЗ) и приравнять числитель к нулю. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю, а выражение под корнем строго положительно:

1. $\tan x>0$: Тангенс положителен в I и III четвертях. $\cos x\ne 0$: Тангенс должен существовать (исключаем точки $\frac{\pi }{2}+\pi n$ ).

Следовательно, решения должны принадлежать интервалам:

• $(0+\pi n;\frac{\pi }{2}+\pi n)$ , где $n\in \mathbb{Z}$.

2. Решение уравнения Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $(\sin x-1)(2\cos x+1)=0$Это распадается на два независимых уравнения: А) $\sin x-1=0$ $\sin x=1$ $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Проверка по ОДЗ: При этих значениях $\cos x=0$, следовательно, $\tan x$ не существует.

Данные корни посторонние.

Б) $2\cos x+1=0$ $\cos x=-\frac{1}{2}$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 3. Отбор корней по ОДЗ Проверим полученные корни $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ и $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на соответствие условию $\tan x>0$:

1. Для $x=\frac{2\pi }{3}$ (II четверть):
   $\tan \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$ . Условие $\tan x>0$ не выполняется. Корень не подходит. Для $x=-\frac{2\pi }{3}$ (или $x=\frac{4\pi }{3}$ , III четверть):
   $\tan \left(\frac{4\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$ . Условие $\tan x>0$ выполняется. Корень подходит.

Ответ: $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ (или в эквивалентной форме: $x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ) Могу ли я помочь вам с решением других тригонометрических уравнений или систем?