Найти область определения функции, промежутки монотонности и экстремума: y=2+3x-x^3

Область определения функции $y=2+3x-x^3$ — все действительные числа $\mathbb{R}$, функция возрастает на отрезке $[-1,1]$, убывает на промежутках $(-\infty ,-1]$ и $[1,+\infty )$, точка минимума $x_{min}=-1$ (значение $y=0$), точка максимума $x_{max}=1$ (значение $y=4$). ️ Шаг 1: Определение области определения Функция $y=2+3x-x^3$ является многочленом (полиномом). Многочлены определены для любых значений аргумента $x$. Следовательно, область определения: $D\left(y\right)=(-\infty ,+\infty )$️ Шаг 2: Нахождение производной и критических точек Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем её производную: $y^{\prime }=(2+3x-x^3{)}^{\prime }=3-3x^2$Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3-3x^2=0$ $3(1-x^2)=0$ $x^2=1x_1=-1,x_2=1$️ Шаг 3: Исследование монотонности и поиск экстремумов Определим знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками:

1. На интервале $(-\infty ,-1)$: выберем $x=-2$, тогда $y^{\prime }\left(-2\right)=3-3(-2{)}^2=3-12=-9<0$. Функция убывает. На интервале $(-1,1)$: выберем $x=0$, тогда $y^{\prime }\left(0\right)=3-0=3>0$. Функция возрастает. На интервале $(1,+\infty )$: выберем $x=2$, тогда $y^{\prime }\left(2\right)=3-12=-9<0$. Функция убывает.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

• В точке $x=-1$ производная меняет знак с $-$ на $+$, это точка минимума: $y\left(-1\right)=2+3\left(-1\right)-(-1{)}^3=2-3+1=0$. В точке $x=1$ производная меняет знак с $+$ на $-$, это точка максимума: $y\left(1\right)=2+3\left(1\right)-(1{)}^3=2+3-1=4$.

Ответ: Область определения: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$. Промежутки возрастания: $x\in [-1,1]$. Промежутки убывания: $x\in (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$. Точки экстремума: $x_{min}=-1$, $y_{min}=0$; $x_{max}=1$, $y_{max}=4$. Необходимо ли вам построить график этой функции на основе найденных данных?