Решить методом интервалов x+1/x-7.5<0

Для решения неравенства $\frac{x+1}{x-7.5}<0$ методом интервалов, выполним следующие шаги: 1. Нахождение критических точек Для применения метода интервалов необходимо найти значения $x$, при которых числитель равен нулю, а знаменатель не определен.

• Числитель равен нулю:
  $x+1=0⟹\mathbf{x}\mathbf{=}-1$ Знаменатель равен нулю (точки разрыва):
  $x-7.5=0⟹\mathbf{x}\mathbf{=}7.5$

2. Разбиение числовой оси на интервалы Нанесем найденные точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое ( $<$), обе точки будут выколотыми (обозначаются пустыми кружками), а сами значения $-1$ и $7.5$ не входят в решение. Точки разделяют ось на три интервала:

1. $(-\infty ;-1)$ $(-1;7.5)$ $(7.5;+\infty )$

3. Определение знаков на интервалах Выберем по одной контрольной точке из каждого промежутка и подставим в выражение $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-7.5}$ :

• Интервал $(-\infty ;-1)$: Возьмем $x=-2$
  $\frac{-2+1}{-2-7.5}=\frac{-1}{-9.5}>0$ (Знак +) Интервал $(-1;7.5)$: Возьмем $x=0$
  $\frac{0+1}{0-7.5}=\frac{1}{-7.5}<0$ (Знак -) Интервал $(7.5;+\infty )$: Возьмем $x=8$
  $\frac{8+1}{8-7.5}=\frac{9}{0.5}>0$ (Знак +)

4. Выбор нужного промежутка По условию неравенства нам нужны значения меньше нуля ( $<0$). Этому условию соответствует средний интервал, где выражение принимает отрицательные значения.

Решение в виде интервала:
$x\in (-1;7.5)$

Ответ: $-1<x<7.5$ Я могу также помочь решить это неравенство графическим способом или разобрать более сложный пример с квадратичными функциями. Хотите попробовать?