Вычислить sin 75 * sin 15 = ?

Для вычисления произведения $\sin {75}^{\circ }\cdot \sin {15}^{\circ }$ удобнее всего воспользоваться тригонометрической формулой произведения синусов: $\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\left(\cos \right(\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta \left)\right)$ Пошаговое решение

1. Подставим значения углов $\alpha ={75}^{\circ }$ и $\beta ={15}^{\circ }$ в формулу:
   $\sin {75}^{\circ }\cdot \sin {15}^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\cos \right({75}^{\circ }-{15}^{\circ })-\cos ({75}^{\circ }+{15}^{\circ }\left)\right)$ Вычислим разность и сумму углов:
   • ${75}^{\circ }-{15}^{\circ }={60}^{\circ }$ ${75}^{\circ }+{15}^{\circ }={90}^{\circ }$
   Запишем выражение с полученными углами:
   $\frac{1}{2}(\cos {60}^{\circ }-\cos {90}^{\circ })$ Подставим табличные значения косинусов:
   • $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$ $\cos {90}^{\circ }=0$
   Выполним итоговое вычисление:
   $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Альтернативный способ (через формулу двойного угла) Можно заметить, что $\sin {75}^{\circ }=\cos {15}^{\circ }$ (по формуле приведения: $\sin ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })=\cos {15}^{\circ }$). Тогда выражение принимает вид: $\sin {15}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }$Используя формулу синуса двойного угла $\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$: $\frac{1}{2}\left(2\sin {15}^{\circ }\cos {15}^{\circ }\right)=\frac{1}{2}\sin (2\cdot {15}^{\circ })=\frac{1}{2}\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ Ответ: $0,25$ (или $\frac{1}{4}$ ) Я могу также помочь с вычислением других тригонометрических выражений или разбором более сложных тождеств. Хотите продолжить?