Найти производную следующей функции y=(1+e^x)÷(1-e^x)

Для нахождения производной функции $y=\frac{1+e^x}{1-e^x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ Шаг 1: Определение компонентов Обозначим числитель как $u$ и знаменатель как $v$:

• $u=1+e^x$ $v=1-e^x$

Шаг 2: Нахождение производных числителя и знаменателя Вычислим производную каждой части по отдельности:

• $u^{\prime }=(1+e^x{)}^{\prime }=0+e^x=e^x$ $v^{\prime }=(1-e^x{)}^{\prime }=0-e^x=-e^x$

Шаг 3: Подстановка в формулу частного Подставим полученные значения в общую формулу: $y^{\prime }=\frac{\left(e^x\right)(1-e^x)-(1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x{)}^2}$ Шаг 4: Упрощение выражения Раскроем скобки в числителе:

1. Умножаем первую часть: $e^x(1-e^x)=e^x-e^{2x}$ Умножаем вторую часть (учитывая знак минус перед скобкой и минус у $e^x$): $-(1+e^x)(-e^x)=+(1+e^x)e^x=e^x+e^{2x}$

Теперь объединим их: $y^{\prime }=\frac{e^x-e^{2x}+e^x+e^{2x}}{(1-e^x{)}^2}$ Сгруппируем и сократим подобные слагаемые в числителе:

• $-e^{2x}$ и $+e^{2x}$ взаимно уничтожаются. $e^x+e^x=2e^x$.

Итоговый результат: $y^{\prime }=\frac{2e^x}{(1-e^x{)}^2}$ Могу ли я помочь вам с вычислением производных других функций или разбором темы пределов?