Найти точку минимума функции y=x^3-24x^2+11

Точкой минимума функции $y=x^3-24x^2+11$ является $x=16$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для нахождения экстремумов функции необходимо вычислить её производную. Используем правила дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ и константы $(C{)}^{\prime }=0$: $y^{\prime }=(x^3-24x^2+11{)}^{\prime }=3x^2-48x$Шаг 2: Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение: $3x^2-48x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $3x(x-16)=0$Отсюда получаем два корня: $x_1=0,x_2=16$Шаг 3: Анализ знаков производной и поиск точки минимума Чтобы определить, какая из точек является точкой минимума, исследуем знак производной $y^{\prime }=3x(x-16)$ на числовой прямой:

1. На интервале $(-\infty ,0)$ возьмем $x=-1$: $y^{\prime }\left(-1\right)=3\left(-1\right)\left(-17\right)=51>0$. Функция возрастает. На интервале $(0,16)$ возьмем $x=1$: $y^{\prime }\left(1\right)=3\left(1\right)(1-16)=-45<0$. Функция убывает. На интервале $(16,+\infty )$ возьмем $x=20$: $y^{\prime }\left(20\right)=3\left(20\right)\left(4\right)=240>0$. Функция возрастает.

Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс (функция переходит от убывания к возрастанию). Это происходит в точке $x=16$. Ответ: Точка минимума функции равна 16. Сообщите, требуется ли вам найти минимальное значение функции в этой точке или исследовать её на другие экстремумы.