Отбор корней в тригонометрических уравнениях sinx=-1\2 на участке от о до 3п/2

Для решения уравнения $\sin x=-\frac{1}{2}$ на заданном промежутке $[0;\frac{3\pi }{2}]$ воспользуемся методом тригонометрической окружности или общим решением с последующей проверкой. 1. Общее решение уравнения Уравнение $\sin x=a$ имеет две серии корней. Для $a=-\frac{1}{2}$ :

1. $x_1=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x_2=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Или, используя стандартную форму записи через арксинус:

• $x=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

2. Отбор корней на промежутке $[0;\frac{3\pi }{2}]$ Рассмотрим значения переменной в пределах от 0 до 1.5π (что соответствует ${270}^{\circ }$). Проверка первой серии $x_1=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ :

• При $k=0$: $x=-\frac{\pi }{6}$ . Это значение меньше 0, не подходит. При $k=1$: $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$ . Это значение больше $\frac{3\pi }{2}$ ( $\frac{9\pi }{6}$ ), не подходит.

Проверка второй серии $x_2=\frac{7\pi }{6}+2\pi k$ :

• При $k=0$: $x=\frac{7\pi }{6}$ .
  • Сравним с границами: $0<\frac{7\pi }{6}<\frac{3\pi }{2}$ (так как $\frac{3\pi }{2}=\frac{9\pi }{6}$ ). Корень подходит.
  При $k=-1$: $x=\frac{7\pi }{6}-2\pi =-\frac{5\pi }{6}$ . Значение меньше 0, не подходит.

3. Визуализация на окружности На тригонометрическом круге прямая $y=-0.5$ пересекает окружность в двух точках в III и IV четвертях:

• Точка в III четверти: $\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{\mathbf{7}\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}$ Точка в IV четверти: $2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}$

Отрезок $[0;\frac{3\pi }{2}]$ охватывает I, II и III четверти. Точка $\frac{11\pi }{6}$ находится в IV четверти и выходит за пределы указанного интервала. Единственной точкой, попавшей в выделенную дугу, является $\frac{7\pi }{6}$ . Ответ: $x=\frac{7\pi }{6}$ Хотите, чтобы я разобрал аналогичный пример с косинусом или другим интервалом?