По каким формулам синусов и косинусов можно найти стороны треугольника

Для нахождения сторон треугольника в тригонометрии чаще всего используются две ключевые теоремы: теорема синусов и теорема косинусов. Выбор формулы зависит от того, какие данные (стороны или углы) уже известны. Для всех формул ниже приняты обозначения:

• $a,b,c$ — стороны треугольника. $\alpha ,\beta ,\gamma$ — углы, лежащие напротив соответствующих сторон. $R$ — радиус описанной окружности.

1. Теорема синусов Она устанавливает пропорциональную зависимость между сторонами треугольника и синусами противолежащих углов. Общая формула: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$ Когда использовать:

• Известны два угла и одна сторона.
• Известны две стороны и угол, лежащий против одной из них.

Формулы для поиска сторон:

• $a=\frac{b\cdot \sin \alpha }{\sin \beta }$ $b=\frac{a\cdot \sin \beta }{\sin \alpha }$ $c=\frac{a\cdot \sin \gamma }{\sin \alpha }$

2. Теорема косинусов Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника. Общая формула: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$ $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Когда использовать:

• Известны две стороны и угол между ними (для поиска третьей стороны).
• Известны три стороны (для поиска углов).

Формула для извлечения стороны: Чтобы найти саму сторону, необходимо извлечь корень из правой части: $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos \alpha }$ 3. Частные случаи (Прямоугольный треугольник) Если один из углов равен ${90}^{\circ }$ (например, $\gamma ={90}^{\circ }$), формулы значительно упрощаются, так как $\sin {90}^{\circ }=1$, а $\cos {90}^{\circ }=0$.

Сводная таблица выбора метода

Я могу составить для вас пошаговый алгоритм решения задачи с конкретными числами или помочь вывести значение угла через арккосинус.