Под корнем x+7 + под корнем x-2 = 9

Для решения уравнения $\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9$ воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат и выделения изолированного радикала. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

• $x+7\ge 0x\ge -7$ $x-2\ge 0x\ge 2$

Следовательно, общее ограничение для переменной: $x\ge 2$. 2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}{)}^2=9^2$ Применяем формулу квадрата суммы $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: $(x+7)+2\sqrt{(x+7)(x-2)}+(x-2)=81$ Упростим выражение: $2x+5+2\sqrt{x^2+5x-14}=81$ 3. Изоляция корня Перенесем слагаемые без корня в правую часть: $2\sqrt{x^2+5x-14}=81-5-2x$ $2\sqrt{x^2+5x-14}=76-2x$ Разделим обе части на 2 для упрощения: $\sqrt{x^2+5x-14}=38-x$ 4. Второе возведение в квадрат Прежде чем возводить в квадрат, отметим, что правая часть должна быть неотрицательной: $38-x\ge 0x\le 38$. $x^2+5x-14=(38-x{)}^2$ $x^2+5x-14=1444-76x+x^2$ Уничтожаем $x^2$ в обеих частях и переносим иксы влево: $5x+76x=1444+14$ $81x=1458$5. Нахождение корня Разделим 1458 на 81: $x=\frac{1458}{81}$ $x=18$6. Проверка

1. ОДЗ: Число 18 входит в промежуток $[2;38]$. Подстановка в исходное уравнение:
   $\sqrt{18+7}+\sqrt{18-2}=9$
   $\sqrt{25}+\sqrt{16}=9$
   $5+4=9$ (Верно)

Ответ: $x=18$. Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение с другими значениями или разобрал метод замены переменной для подобных задач?