Помогите найти производную: 1)f(x)=(x^2-x)(x^3+x) 2) дробь f(x)=x^3+x^2+16/x 3) f(x)=1/2sin2x+корень2x

Для нахождения производных воспользуемся основными правилами дифференцирования: производная произведения, производная суммы и производная сложной функции. 1) $f\left(x\right)=(x^2-x)(x^3+x)$ Для решения можно использовать формулу производной произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, но проще сначала раскрыть скобки и упростить выражение:

1. Раскрываем скобки:
   $f\left(x\right)=x^2\cdot x^3+x^2\cdot x-x\cdot x^3-x\cdot x$
   $f\left(x\right)=x^5+x^3-x^4-x^2=x^5-x^4+x^3-x^2$ Дифференцируем каждый член:
   $f^{\prime }\left(x\right)=(x^5{)}^{\prime }-(x^4{)}^{\prime }+(x^3{)}^{\prime }-(x^2{)}^{\prime }$
   $f^{\prime }\left(x\right)=5x^4-4x^3+3x^2-2x$

2) $f\left(x\right)=\frac{x^3+x^2+16}{x}$ Разделим почленно каждое слагаемое в числителе на знаменатель, чтобы избежать громоздкой формулы производной дроби:

1. Упрощаем выражение:
   $f\left(x\right)=\frac{x^3}{x}+\frac{x^2}{x}+\frac{16}{x}=x^2+x+16x^{-1}$ Находим производную:
   $f^{\prime }\left(x\right)=(x^2{)}^{\prime }+(x{)}^{\prime }+(16x^{-1}{)}^{\prime }$
   $f^{\prime }\left(x\right)=2x+1+16\cdot \left(-1\right)\cdot x^{-2}$
   $f^{\prime }\left(x\right)=2x+1-\frac{16}{x^2}$ Приводим к общему знаменателю (опционально):
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^3+x^2-16}{x^2}$

3) $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)+\sqrt{2x}$ Здесь используются правила дифференцирования сложной функции: $\left(f\right(g\left(x\right)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x)$.

1. Производная первого слагаемого $\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)$ :
   $\left(\frac{1}{2}\sin \right(2x){)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \cos (2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \cos \left(2x\right)\cdot 2=\cos \left(2x\right)$ Производная второго слагаемого $\sqrt{2x}$ :
   $(\sqrt{2x}{)}^{\prime }=((2x{)}^{1/2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}(2x{)}^{-1/2}\cdot (2x{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x}}$ Итоговый результат:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(2x\right)+\frac{1}{\sqrt{2x}}$

Следующим шагом я могу помочь вам исследовать одну из этих функций на экстремумы или найти значение производной в конкретной точке.