Интеграл (верхний предел 1, нижний предел 0) (e в степени x^2) dx

Вычисление определенного интеграла ${\int }_0^1{e}^{x^2}dx$ представляет собой классическую задачу, в которой антипроизводная функции не может быть выражена через элементарные функции (такие как многочлены, тригонометрические или логарифмические функции). Для нахождения точного значения используются специальные функции, а для практических расчетов — разложение в ряд или численные методы. 1. Решение через функцию мнимой ошибки Первообразная функции $f\left(x\right)=e^{x^2}$ выражается через специальную функцию, называемую функцией мнимой ошибки (imaginary error function), обозначаемую как $\text{erfi}\left(x\right)$: $\int e^{x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erfi}\left(x\right)+C$ Применяя формулу Ньютона-Лейбница для пределов от 0 до 1: ${\int }_0^1{e}^{x^2}dx={\left[\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erfi}\right(x\left)\right]}_0^1=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erfi}\left(1\right)$ Так как $\text{erfi}\left(0\right)=0$, окончательный точный ответ записывается как: $\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erfi}\left(1\right)$ 2. Решение с помощью разложения в ряд Тейлора Для получения численного значения удобно разложить экспоненту в бесконечный степенной ряд: $e^u=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{u^n}{n!}=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}+\dots$ Подставим $u=x^2$: $e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}+\dots +\frac{x^{2n}}{n!}$ Теперь проинтегрируем почленно: ${\int }_0^1\left(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{n!}\right)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\left[\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}\right]}_0^1=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!(2n+1)}$ Вычислим первые несколько членов ряда:

• $n=0:\frac{1}{0!\cdot 1}=1$ $n=1:\frac{1}{1!\cdot 3}\approx 0.3333$ $n=2:\frac{1}{2!\cdot 5}=0.1$ $n=3:\frac{1}{3!\cdot 7}\approx 0.0238$ $n=4:\frac{1}{4!\cdot 9}\approx 0.0046$

Суммируя эти значения: $1+0.3333+0.1+0.0238+0.0046\approx 1.4617$ 3. Итоговое значение При использовании более точных методов вычисления (например, правила Симпсона или большего количества членов ряда), значение интеграла составляет: ${\int }_0^1{e}^{x^2}dx\approx 1.4626517459\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$Я могу составить для вас таблицу значений этой функции для других пределов интегрирования или продемонстрировать вычисление с использованием метода Симпсона. Хотите рассмотреть эти варианты?