Представить в виде произведения: sin2a+cos2a+1

Для того чтобы представить выражение $\sin 2\alpha +\cos 2\alpha +1$ в виде произведения, воспользуемся тригонометрическими формулами двойного угла и основным тождеством. Шаг 1: Применение формул двойного угла Напомним основные формулы:

1. $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ (одна из форм записи)

Шаг 2: Преобразование выражения Подставим эти значения в исходное выражение: $\sin 2\alpha +\cos 2\alpha +1=\left(2\sin \alpha \cos \alpha \right)+(2{\cos }^2\alpha -1)+1$Заметим, что единицы взаимно уничтожаются: $2\sin \alpha \cos \alpha +2{\cos }^2\alpha -1+1=2\sin \alpha \cos \alpha +2{\cos }^2\alpha$Шаг 3: Вынесение общего множителя В полученном выражении оба слагаемых имеют общий множитель $2\cos \alpha$. Вынесем его за скобки: $2\cos \alpha (\sin \alpha +\cos \alpha )$Шаг 4: Преобразование суммы в скобках в произведение Для того чтобы выражение полностью представляло собой произведение, преобразуем сумму $\sin \alpha +\cos \alpha$. Используем метод введения вспомогательного угла: $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha )$ $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}\sin \alpha +\sin \frac{\pi }{4}\cos \alpha )$ По формуле синуса суммы ( $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$): $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$ Итоговый результат Подставим полученное значение обратно в выражение из Шага 3: $2\cos \alpha \cdot \sqrt{2}\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}\cos \alpha \sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$ Ответ: $2\sqrt{2}\cos \alpha \sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$ Я могу также разложить это выражение через функцию косинуса, если вам требуется иная форма записи. Хотите, чтобы я привел альтернативный вариант через $\cos (\alpha -\frac{\pi }{4})$ ?