При каком параметре m система уравнений x²+y+2=0 x²+y²=m имеет одно решение и три решения

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки и графическим анализом. 1. Преобразование системы Дана система:

1. $x^2+y+2=0⟹x^2=-y-2$ $x^2+y^2=m$

Подставим выражение для $x^2$ из первого уравнения во второе: $(-y-2)+y^2=m$ $y^2-y-(2+m)=0$Это квадратное уравнение относительно $y$. Для того чтобы исходная система имела решения, необходимо выполнение двух условий:

• Полученное квадратное уравнение должно иметь корни ( $D\ge 0$). Для каждого найденного $y$ должно существовать вещественное значение $x$. Из уравнения $x^2=-y-2$ следует, что решение существует только при $y\le -2$.

2. Исследование количества корней Рассмотрим функцию $f\left(y\right)=y^2-y-2$. Уравнение принимает вид $f\left(y\right)=m$. Графически это пересечение параболы $f\left(y\right)$ с горизонтальной прямой $m$. Однако нас интересуют только те значения $y$, при которых $x$ принимает определенные значения:

• Если $y<-2$, то $x^2=-y-2>0$, что дает два значения $x$ ( $\pm \sqrt{-y-2}$ ). Если $y=-2$, то $x^2=0$, что дает одно значение $x$ ( $x=0$). Если $y>-2$, то решений для $x$ нет.

Анализ критических точек: Найдем значение $m$ в точке «стыка» $y=-2$: $m=(-2{)}^2-(-2)-2=4+2-2=4$Найдем вершину параболы $y^2-y-(2+m)=0$: $y_{верш}=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}$ Так как $y_{верш}=0.5>-2$, вершина параболы находится в области, где решений для $x$ не существует. 3. Определение параметров $m$ Одно решение Единственное решение возможно только в том случае, если $y=-2$ является единственным корнем уравнения, подходящим под условие $y\le -2$. Как мы вычислили выше, при $m=4$ одним из корней уравнения будет $y=-2$. Проверим второй корень при $m=4$: $y^2-y-6=0⟹(y-3)(y+2)=0$. Корни: $y_1=-2$ и $y_2=3$.

• Для $y=-2$: $x^2=-\left(-2\right)-2=0⟹x=0$. Точка $(0,-2)$. Для $y=3$: $x^2=-3-2=-5$ (нет решений).
  Следовательно, при $m=4$ ровно одно решение.

Три решения Чтобы система имела три решения, уравнение по $y$ должно иметь два корня:

1. Один корень должен быть $y=-2$ (дает 1 значение $x$). Второй корень должен быть $y<-2$ (дает 2 значения $x$).

Мы уже знаем, что $y=-2$ получается при $m=4$. При этом второй корень оказался равным $y=3$. Чтобы второй корень был меньше $-2$, вершина параболы должна была бы лежать левее $-2$, но вершина зафиксирована в точке $y=0.5$. Вывод по трем решениям: Поскольку вершина параболы $y^2-y-2$ находится при $y=0.5$, парабола направлена ветвями вверх и симметрична относительно $0.5$. Это означает, что для любого $m$ значения корней $y_1$ и $y_2$ распределены симметрично относительно $0.5$. Если один корень $y\le -2$, то второй корень обязан быть $\ge 3$.

• При $y<-2$ мы всегда получаем 2 решения. При $y=-2$ мы получаем 1 решение. При $y>-2$ мы получаем 0 решений.

Таким образом, система может иметь либо 1 решение (когда $y_1=-2,y_2>-2$), либо 2 решения (когда $y_1<-2,y_2>-2$), либо 0 решений. Конфигурация с 3 или 4 решениями невозможна из-за расположения вершины параболы. Ответ:

• Одно решение: $m=4$
• Три решения: таких значений $m$ не существует

Хотите, чтобы я разобрал графический метод решения этой задачи с построением окружности и параболы в осях $(x,y)$?