Решить иррациональное уравнение корень из 3x+1 минус корень из x+8 равно 1

Для решения уравнения $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+8}=1$ воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат и последующей проверкой корней. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

• $3x+1\ge 0⟹x\ge -\frac{1}{3}$ $x+8\ge 0⟹x\ge -8$

Общее условие для ОДЗ: $x\ge -1/3$. 2. Преобразование и возведение в квадрат Для удобства перенесем второй корень в правую часть уравнения: $\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+8}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{3x+1}{)}^2=(1+\sqrt{x+8}{)}^2$ $3x+1=1+2\sqrt{x+8}+(x+8)$ 3. Изоляция корня Приведем подобные слагаемые и перенесем все переменные без корня в левую часть: $3x+1=x+9+2\sqrt{x+8}$ $2x-8=2\sqrt{x+8}$ Разделим обе части уравнения на 2: $x-4=\sqrt{x+8}$ 4. Повторное возведение в квадрат Снова возведем в квадрат (при этом учитываем дополнительное условие $x-4\ge 0$, то есть $x\ge 4$): $(x-4{)}^2=(\sqrt{x+8}{)}^2$ $x^2-8x+16=x+8$ $x^2-9x+8=0$5. Решение квадратного уравнения Решим уравнение $x^2-9x+8=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней $x_1+x_2=9$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=8$

Корни: $x_1=8$, $x_2=1$. 6. Проверка корней Подставим найденные значения в исходное уравнение $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+8}=1$ :

1. При $x=8$:
   $\sqrt{3\left(8\right)+1}-\sqrt{8+8}=\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1$ $1=1$ — корень подходит. При $x=1$:
   $\sqrt{3\left(1\right)+1}-\sqrt{1+8}=\sqrt{4}-\sqrt{9}=2-3=-1$ $-1\ne 1$ — корень является посторонним (он возник из-за возведения в квадрат на этапе $x-4=\sqrt{x+8}$ , так как $1-4=-3$, а корень не может быть отрицательным).

Ответ: $x=8$ Хотите, чтобы я решил другое иррациональное уравнение или разобрал систему уравнений?