Чему равно наибольшее значение sin^2 (x) + 2 cos^2 (x)

Для нахождения наибольшего значения выражения $f\left(x\right)={\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x$ воспользуемся методами тригонометрических преобразований. Способ 1: Использование основного тригонометрического тождества Мы знаем, что ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Разложим второе слагаемое в исходном выражении:

1. Запишем выражение как:
   $f\left(x\right)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}x$ Заменим сумму квадратов синуса и косинуса на единицу:
   $f\left(x\right)=1+{\cos }^{2}x$

Способ 2: Преобразование через косинус двойного угла Также можно выразить всё через косинус двойного угла, используя формулы понижения степени:

• ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

Подставим их в выражение: $f\left(x\right)=\frac{1-\cos 2x}{2}+2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}$ $f\left(x\right)=\frac{1-\cos 2x+2+2\cos 2x}{2}=\frac{3+\cos 2x}{2}$ $f\left(x\right)=1.5+0.5\cos 2x$Определение наибольшего значения Исходя из упрощенного вида $f\left(x\right)=1+{\cos }^{2}x$:

• Функция $\cos x$ принимает значения в интервале $[-1,1]$. Следовательно, квадрат косинуса ${\cos }^{2}x$ принимает значения в интервале $[0,1]$. Минимальное значение ${\cos }^{2}x$ равно 0 (когда $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ ). Максимальное значение ${\cos }^{2}x$ равно 1 (когда $x=\pi n$).

Подставим максимальное значение ${\cos }^{2}x$ в формулу: $f_{max}=1+1=2$Если проверять через формулу $1.5+0.5\cos 2x$:

• Максимум достигается при $\cos 2x=1$. $f_{max}=1.5+0.5\left(1\right)=2$.

Ответ: Наибольшее значение равно 2. Хотите, чтобы я решил аналогичную задачу с другими тригонометрическими коэффициентами?