Вычислите определённый интеграл: интеграл от -1 до 2 (3х^2-2х+1)

Для вычисления определенного интеграла ${\int }_{-1}^2(3x^2-2x+1)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. 1. Нахождение первообразной функции Сначала найдем неопределенный интеграл (первообразную) от подынтегрального выражения, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ :

• $\int 3x^{2}dx=3\cdot \frac{x^3}{3}=x^3$ $\int 2xdx=2\cdot \frac{x^2}{2}=x^2$ $\int 1dx=x$

Таким образом, общая первообразная $F\left(x\right)=x^3-x^2+x$. 2. Применение формулы Ньютона-Лейбница Подставим пределы интегрирования (верхний $b=2$ и нижний $a=-1$) в полученную первообразную: ${\int }_{-1}^2(3x^2-2x+1)dx=[x^3-x^2+x{]}_{-1}^2$3. Вычисление значений Сначала подставим верхний предел ( $x=2$): $F\left(2\right)=2^3-2^2+2=8-4+2=6$ Затем подставим нижний предел ( $x=-1$): $F\left(-1\right)=(-1{)}^3-(-1{)}^2+\left(-1\right)=-1-1-1=-3$ 4. Финальный результат Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: $F\left(2\right)-F\left(-1\right)=6-\left(-3\right)=6+3=9$ Ответ: 9. Если вам потребуется решение других задач, просто введите новое математическое выражение.