Решить неравенство: log5(x-3)+log5(x+1)=1

Для решения уравнения ${\log }_5(x-3)+{\log }_5(x+1)=1$ необходимо выполнить последовательные шаги: определить область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать логарифмическое выражение в алгебраическое и проверить полученные корни. 1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Следовательно, получаем систему неравенств:

• $x-3>0⟹x>3$ $x+1>0⟹x>-1$

Общим решением системы является интервал: $x\in (3;+\infty )$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_5\left(\right(x-3\left)\right(x+1\left)\right)=1$Согласно определению логарифма ( ${\log }_a\left(b\right)=c⟺a^c=b$), переходим к квадратному уравнению: $(x-3)(x+1)=5^1$ $x^2+x-3x-3=5$ $x^2-2x-8=0$3. Решение квадратного уравнения Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта:

• Сумма корней: $x_1+x_2=2$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=-8$

Корнями уравнения являются:

• $x_1=4$ $x_2=-2$

4. Проверка корней по ОДЗ Сравним полученные значения с установленным ограничением $x>3$:

1. $x=4$: $4>3$ — подходит. $x=-2$: $-2<3$ — не подходит (посторонний корень).

Ответ: 4 Хотите, чтобы я решил аналогичное логарифмическое уравнение с другим основанием или более сложной структурой?