4cos^4x-cos2x-1=0 найти все

Для решения уравнения $4{\cos }^{4}x-\cos 2x-1=0$ воспользуемся тригонометрическими формулами и методом замены переменной. Шаг 1: Преобразование уравнения Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $4{\cos }^{4}x-(2{\cos }^{2}x-1)-1=0$Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $4{\cos }^{4}x-2{\cos }^{2}x+1-1=0$ $4{\cos }^{4}x-2{\cos }^{2}x=0$Шаг 2: Разложение на множители Вынесем общий множитель $2{\cos }^{2}x$ за скобки: $2{\cos }^{2}x(2{\cos }^{2}x-1)=0$Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Шаг 3: Решение полученных уравнений

1. Первый случай: $2{\cos }^{2}x=0$
   • ${\cos }^{2}x=0$ $\cos x=0$ Решение: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ , где $n\in \mathbb{Z}$ WolframAlpha.
   Второй случай: $2{\cos }^{2}x-1=0$
   • $2{\cos }^{2}x=1$ ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$ $\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ Для $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$ Для $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k$ Объединяя эти решения, получаем: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$ , где $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ:

• $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно записать в одну, если заметить их расположение на тригонометрическом круге, но стандартно они оставляются в таком виде. Требуется ли вам произвести отбор корней на каком-либо конкретном числовом промежутке?