Решить неравенство x^(-3/4) - 1 ≤(x-1)^4/3

Для решения неравенства $x^{-3/4}-1\le (x-1{)}^{4/3}$ необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) и проанализировать поведение функций в обеих частях неравенства. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Для того чтобы выражение было определено в действительных числах:

1. Левая часть: $x^{-3/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$ . Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным: $x>0$. Правая часть: $(x-1{)}^{4/3}=\sqrt[3]{(x-1{)}^4}$ . Корень нечетной степени определен при любых значениях, однако дробные показатели степени с положительным основанием в классическом анализе требуют, чтобы основание было неотрицательным для однозначности. Более того, при $x<1$ выражение $(x-1)$ отрицательно, но возводится в четную степень $4$ под корнем. Пересечение: С учетом левой части $x>0$.

2. Анализ граничных значений и критических точек Проверим значение $x=1$:

• Левая часть: $1^{-3/4}-1=1-1=0$ Правая часть: $(1-1{)}^{4/3}=0$ $0\le 0$ — истина. Значит, $x=1$ является решением.

3. Исследование промежутков Рассмотрим два интервала, исходя из ОДЗ: $(0,1)$ и $(1,+\infty )$. Интервал $0<x<1$

• Левая часть: Если $0<x<1$, то $x^{-3/4}>1$. Следовательно, $x^{-3/4}-1>0$. Левая часть всегда положительна. Правая часть: $(x-1{)}^{4/3}$. Поскольку $(x-1)$ в этом интервале отрицательно, возведение в степень $4/3$ (как корень кубический из четвертой степени) дает положительный результат. Сравним функции $f\left(x\right)=x^{-3/4}-1$ и $g\left(x\right)=(x-1{)}^{4/3}$. При $x{0}^{+}$ левая часть $f\left(x\right)+\infty$, в то время как правая часть $g\left(x\right)(-1{)}^{4/3}=1$. Значит, вблизи нуля неравенство не выполняется. Так как функции непрерывны, а при $x=1$ они равны, проверим точку $x=0.5$:
  • $f\left(0.5\right)=(0.5{)}^{-0.75}-1\approx 1.68-1=0.68$ $g\left(0.5\right)=(-0.5{)}^{4/3}\approx 0.39$ $0.68\le 0.39$ — ложь. На интервале $(0,1)$ решений нет.

Интервал $x>1$

• Левая часть: Если $x>1$, то $x^{-3/4}<1$. Следовательно, $x^{-3/4}-1<0$. Левая часть всегда отрицательна. Правая часть: $(x-1{)}^{4/3}$. При $x>1$ выражение $(x-1)>0$, следовательно, результат всегда положителен. Отрицательное число всегда меньше положительного. Значит, неравенство верно для всех $x>1$.

4. Итоговый результат Объединяя точку $x=1$ и интервал $x>1$, получаем: Ответ: $x\ge 1$ (или $x\in [1,+\infty )$). Хотите, чтобы я построил графики этих функций для визуального подтверждения решения?