Докажите, что расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до точки пересечения медиан боковой грани больше одной трети высоты пирамиды

Question

Докажите, что расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до точки пересечения медиан боковой грани больше одной трети высоты пирамиды

SMALLEcho 17.01.2026 03:38

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Пусть дана правильная треугольная пирамида $S A B C cap S cap A cap B cap C$ , где $S cap S$ — вершина, а $A B C cap A cap B cap C$ — основание. Введение обозначений

Пусть $O cap O$ — центр основания (точка пересечения медиан треугольника $A B C cap A cap B cap C$ ). Следовательно, $S O cap S cap O$ — высота пирамиды. Обозначим $S O = H cap S cap O equals cap H$ . Пусть $M cap M$ — середина ребра основания $B C cap B cap C$ . Тогда $A M cap A cap M$ — медиана и высота основания. Рассмотрим боковую грань $S B C cap S cap B cap C$ . Пусть $G cap G$ — точка пересечения медиан этой грани. Точка $G cap G$ лежит на апофеме (медиане боковой грани) $S M cap S cap M$ и делит её в отношении $S G ∶ G M = 2 ∶ 1 cap S cap G colon cap G cap M equals 2 colon 1$ .

Геометрическое построение в плоскости $S A M cap S cap A cap M$ Рассмотрим треугольник $S A M cap S cap A cap M$ . В нем:

$S O ⟂ A M cap S cap O ⟂ cap A cap M$ , так как $S O cap S cap O$ — высота пирамиды. Точка $O cap O$ лежит на отрезке $A M cap A cap M$ (так как $O cap O$ — центр основания). Точка $G cap G$ лежит на отрезке $S M cap S cap M$ .

Нам необходимо найти расстояние $O G cap O cap G$ . Для этого введем прямоугольную систему координат в плоскости $S A M cap S cap A cap M$ :

Пусть точка $O cap O$ — начало координат $(0, 0) open paren 0 comma 0 close paren$ . Высота $S O cap S cap O$ лежит на оси $O y cap O y$ , тогда координаты вершины $S (0, H) cap S open paren 0 comma cap H close paren$ . Основание $A M cap A cap M$ лежит на оси $O x cap O x$ . Пусть $O M = d cap O cap M equals d$ . Тогда координаты точки $M (d, 0) cap M open paren d comma 0 close paren$ .

Вычисление координат точки $G cap G$ Точка $G cap G$ делит отрезок $S M cap S cap M$ в отношении $2 ∶ 1 2 colon 1$ , считая от вершины $S cap S$ . Используем формулу деления отрезка в заданном отношении $λ = \frac{S G}{G M} = 2 lambda equals the fraction with numerator cap S cap G and denominator cap G cap M end-fraction equals 2$ : $x_{G} = \frac{x_{S} + λ x_{M}}{1 + λ} = \frac{0 + 2 d}{1 + 2} = \frac{2}{3} d x sub cap G equals the fraction with numerator x sub cap S plus lambda x sub cap M and denominator 1 plus lambda end-fraction equals the fraction with numerator 0 plus 2 d and denominator 1 plus 2 end-fraction equals two-thirds d$ $y_{G} = \frac{y_{S} + λ y_{M}}{1 + λ} = \frac{H + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{1}{3} H y sub cap G equals the fraction with numerator y sub cap S plus lambda y sub cap M and denominator 1 plus lambda end-fraction equals the fraction with numerator cap H plus 2 center dot 0 and denominator 1 plus 2 end-fraction equals one-third cap H$ Таким образом, координаты точки $G cap G$ равны $(\frac{2}{3} d, \frac{1}{3} H) open paren two-thirds d comma one-third cap H close paren$ . Нахождение расстояния $O G cap O cap G$ Расстояние от начала координат $O (0, 0) cap O open paren 0 comma 0 close paren$ до точки $G (\frac{2}{3} d, \frac{1}{3} H) cap G open paren two-thirds d comma one-third cap H close paren$ находится по формуле: $O G = \sqrt{(x_{G} - 0)^{2} + (y_{G} - 0)^{2}} cap O cap G equals the square root of open paren x sub cap G minus 0 close paren squared plus open paren y sub cap G minus 0 close paren squared end-root$ $O G = \sqrt{{(\frac{2}{3} d)}^{2} + {(\frac{1}{3} H)}^{2}} cap O cap G equals the square root of open paren two-thirds d close paren squared plus open paren one-third cap H close paren squared end-root$ $O G = \sqrt{\frac{4}{9} d^{2} + \frac{1}{9} H^{2}} cap O cap G equals the square root of four-nineths d squared plus one-nineth cap H squared end-root$ Вынесем $\frac{1}{3} one-third$ за знак корня: $O G = \frac{1}{3} \sqrt{4 d^{2} + H^{2}} cap O cap G equals one-third the square root of 4 d squared plus cap H squared end-root$ Сравнение с высотой Нам нужно доказать, что $O G > \frac{1}{3} H cap O cap G is greater than one-third cap H$ . Сравним полученное выражение с $\frac{1}{3} H one-third cap H$ : $\frac{1}{3} \sqrt{4 d^{2} + H^{2}} > \frac{1}{3} H one-third the square root of 4 d squared plus cap H squared end-root is greater than one-third cap H$ $\sqrt{4 d^{2} + H^{2}} > H the square root of 4 d squared plus cap H squared end-root is greater than cap H$ Возведем обе части в квадрат (обе части положительны): $4 d^{2} + H^{2} > H^{2} 4 d squared plus cap H squared is greater than cap H squared$ $4 d^{2} > 0 4 d squared is greater than 0$ Так как $d = O M d equals cap O cap M$ — это расстояние от центра основания до середины стороны (радиус вписанной окружности основания), оно всегда строго больше нуля для любой существующей пирамиды ( $d > 0 d is greater than 0$ ). Следовательно, неравенство $4 d^{2} > 0 4 d squared is greater than 0$ всегда верно. Что и требовалось доказать. Я могу также рассчитать точное значение этого расстояния, если вы укажете длину стороны основания и высоту пирамиды.

Докажите, что расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до точки пересечения медиан боковой грани больше одной трети высоты пирамиды

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов