Решить уравнение (3^x+2)^x-8 = (1/3)^x *81^x-9

Для решения уравнения приведем обе части к общему основанию и упростим показатели степеней. 1. Преобразование правой части уравнения Исходное уравнение: $(3^{x+2}{)}^{x-8}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x\cdot {81}^{x-9}$ Преобразуем правую часть, используя свойства степени ( $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ и $81=3^4$):

• ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=3^{-x}$ ${81}^{x-9}=(3^4{)}^{x-9}=3^{4(x-9)}=3^{4x-36}$

Теперь перемножим их: $3^{-x}\cdot 3^{4x-36}=3^{-x+4x-36}=3^{3x-36}$2. Преобразование левой части уравнения Используем свойство возведения степени в степень $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$: $(3^{x+2}{)}^{x-8}=3^{(x+2)(x-8)}$Раскроем скобки в показателе: $(x+2)(x-8)=x^2-8x+2x-16=x^2-6x-16$3. Составление и решение эквивалентного уравнения Теперь уравнение выглядит так: $3^{x^2-6x-16}=3^{3x-36}$Так как основания равны и отличны от $1$, мы можем приравнять показатели степеней: $x^2-6x-16=3x-36$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2-6x-3x-16+36=0$ $x^2-9x+20=0$4. Нахождение корней Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=9$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=20$

Числа, удовлетворяющие этим условиям: 4 и 5. Проверка через дискриминант: $D=(-9{)}^2-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1$ $x=\frac{9\pm \sqrt{1}}{2}$ $x_1=\frac{10}{2}=5$ $x_2=\frac{8}{2}=4$ Ответ: 4; 5. Хотите, чтобы я проверил другое уравнение или разобрал аналогичную задачу с логарифмами?