Решить уравнение 4^x+2^(x+1)=80

Для решения уравнения $4^x+2^{x+1}=80$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Сначала приведем все степени к одному основанию — числу 2:

• Заметим, что $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}$ или $(2^x{)}^2$. Раскроем степень $2^{x+1}$, используя свойство степеней $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:
  $2^{x+1}=2^x\cdot 2^1=2\cdot 2^x$.

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение: $(2^x{)}^2+2\cdot 2^x=80$2. Введение замены Пусть $2^x=t$. Важно помнить, что показательная функция всегда принимает положительные значения, поэтому вводим ограничение: $t>0$. Подставляем $t$ в уравнение: $t^2+2t-80=0$3. Решение квадратного уравнения Решим полученное уравнение через дискриминант или по теореме Виета. Через дискриминант ( $D$): $D=b^2-4ac$ $D=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-80\right)=4+320=324$ $\sqrt{D}=\sqrt{324}=18$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{-2+18}{2}=\frac{16}{2}=8$ $t_2=\frac{-2-18}{2}=\frac{-20}{2}=-10$ 4. Обратная замена Вернемся к переменной $x$, учитывая условие $t>0$:

1. Для $t_2=-10$:
   Уравнение $2^x=-10$ не имеет решений, так как $2^x$ всегда больше нуля. Для $t_1=8$:
   $2^x=8$
   Представим 8 как степень двойки:
   $2^x=2^3$
   Отсюда:
   $x=3$

Ответ: $x=3$ Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение или разобрал другую математическую задачу?