Решить уравнение и найти область допустимых значений: |2х-|5-|3х-2|||=7-х

Question

Решить уравнение и найти область допустимых значений: |2х-|5-|3х-2|||=7-х

low_radon 28.01.2026 22:09

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для решения уравнения с вложенными модулями воспользуемся методом раскрытия модулей по определению или методом интервалов. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Данное уравнение содержит многочлены под знаками модуля и линейную функцию в правой части. Ограничений на переменную $x x$ (таких как деление на ноль или корень четной степени) нет. Однако, исходя из свойств модуля ( $| a | \geq 0 the absolute value of a end-absolute-value is greater than or equal to 0$ ), левая часть уравнения всегда неотрицательна. Следовательно: $7 - x \geq 0 ⟹ x \leq 7 7 minus x is greater than or equal to 0 ⟹ x is less than or equal to 7$ ОДЗ: $x \in (- \infty; 7] x is an element of open paren negative infinity ; 7 close bracket$ 2. Решение уравнения Уравнение имеет вид $| 2 x - | 5 - | 3 x - 2 | | | = 7 - x the absolute value of 2 x minus end-absolute-value 5 minus the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value the absolute value of end-absolute-value equals 7 minus x$ . Рассмотрим два основных случая раскрытия внешнего модуля. Случай А: $2 x - | 5 - | 3 x - 2 | | = 7 - x 2 x minus the absolute value of 5 minus end-absolute-value 3 x minus 2 the absolute value of end-absolute-value equals 7 minus x$ Перенесем слагаемые: $| 5 - | 3 x - 2 | | = 3 x - 7 the absolute value of 5 minus end-absolute-value 3 x minus 2 the absolute value of end-absolute-value equals 3 x minus 7$ Для существования решений здесь также должно выполняться $3 x - 7 \geq 0 ⟹ x \geq \frac{7}{3} 3 x minus 7 is greater than or equal to 0 ⟹ x is greater than or equal to seven-thirds$ . Подслучай А1: $5 - | 3 x - 2 | = 3 x - 7 5 minus the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals 3 x minus 7$ $| 3 x - 2 | = 12 - 3 x the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals 12 minus 3 x$

$3 x - 2 = 12 - 3 x ⟹ 6 x = 14 ⟹ x = \frac{7}{3} 3 x minus 2 equals 12 minus 3 x ⟹ 6 x equals 14 ⟹ x equals seven-thirds$ (Удовлетворяет условию $x \leq 7 x is less than or equal to 7$ и проверке). $3 x - 2 = - (12 - 3 x) ⟹ 3 x - 2 = 3 x - 12 ⟹ -2 = -12 3 x minus 2 equals negative open paren 12 minus 3 x close paren ⟹ 3 x minus 2 equals 3 x minus 12 ⟹ negative 2 equals negative 12$ (Решений нет).

Подслучай А2: $5 - | 3 x - 2 | = - (3 x - 7) 5 minus the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals negative open paren 3 x minus 7 close paren$ $5 - | 3 x - 2 | = -3 x + 7 ⟹ | 3 x - 2 | = 3 x - 2 5 minus the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals negative 3 x plus 7 ⟹ the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals 3 x minus 2$ Это равенство верно при $3 x - 2 \geq 0 3 x minus 2 is greater than or equal to 0$ , то есть $x \geq \frac{2}{3} x is greater than or equal to two-thirds$ . Учитывая условие раскрытия модуля в Случае А ( $| 5 - | 3 x - 2 | | = 3 x - 7 the absolute value of 5 minus end-absolute-value 3 x minus 2 the absolute value of end-absolute-value equals 3 x minus 7$ ), подставим $| 3 x - 2 | = 3 x - 2 the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals 3 x minus 2$ в него: $| 5 - (3 x - 2) | = 3 x - 7 ⟹ | 7 - 3 x | = 3 x - 7 the absolute value of 5 minus open paren 3 x minus 2 close paren end-absolute-value equals 3 x minus 7 ⟹ the absolute value of 7 minus 3 x end-absolute-value equals 3 x minus 7$ Это равенство верно при $3 x - 7 \geq 0 3 x minus 7 is greater than or equal to 0$ , то есть $x \geq \frac{7}{3} x is greater than or equal to seven-thirds$ . Таким образом, все значения $x \in [\frac{7}{3}; 7] x is an element of open bracket seven-thirds ; 7 close bracket$ являются решениями данного подслучая. Случай Б: $2 x - | 5 - | 3 x - 2 | | = - (7 - x) 2 x minus the absolute value of 5 minus end-absolute-value 3 x minus 2 the absolute value of end-absolute-value equals negative open paren 7 minus x close paren$ $2 x - | 5 - | 3 x - 2 | | = x - 7 2 x minus the absolute value of 5 minus end-absolute-value 3 x minus 2 the absolute value of end-absolute-value equals x minus 7$ $| 5 - | 3 x - 2 | | = x + 7 the absolute value of 5 minus end-absolute-value 3 x minus 2 the absolute value of end-absolute-value equals x plus 7$ Подслучай Б1: $5 - | 3 x - 2 | = x + 7 5 minus the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals x plus 7$ $| 3 x - 2 | = - x - 2 the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals negative x minus 2$ Так как модуль не может быть отрицательным, решение возможно только если $- x - 2 \geq 0 ⟹ x \leq -2 negative x minus 2 is greater than or equal to 0 ⟹ x is less than or equal to negative 2$ .

$3 x - 2 = - x - 2 ⟹ 4 x = 0 ⟹ x = 0 3 x minus 2 equals negative x minus 2 ⟹ 4 x equals 0 ⟹ x equals 0$ (Не подходит, так как $0 \overset{̸}{\leq} - 2 0 is neither less than nor equal to minus 2$ ). $3 x - 2 = x + 2 ⟹ 2 x = 4 ⟹ x = 2 3 x minus 2 equals x plus 2 ⟹ 2 x equals 4 ⟹ x equals 2$ (Не подходит).

Подслучай Б2: $5 - | 3 x - 2 | = - (x + 7) 5 minus the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals negative open paren x plus 7 close paren$ $5 - | 3 x - 2 | = - x - 7 ⟹ | 3 x - 2 | = x + 12 5 minus the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals negative x minus 7 ⟹ the absolute value of 3 x minus 2 end-absolute-value equals x plus 12$

$3 x - 2 = x + 12 ⟹ 2 x = 14 ⟹ x = 7 3 x minus 2 equals x plus 12 ⟹ 2 x equals 14 ⟹ x equals 7$ (Подходит под ОДЗ). $3 x - 2 = - x - 12 ⟹ 4 x = -10 ⟹ x = -2.5 3 x minus 2 equals negative x minus 12 ⟹ 4 x equals negative 10 ⟹ x equals negative 2.5$ .
Проверим $x = -2.5 x equals negative 2.5$ :
$| 2 (-2.5) - | 5 - | 3 (-2.5) - 2 | | | = | - 5 - | 5 - 9.5 | | = | - 5 - 4.5 | = 9.5 the absolute value of 2 open paren negative 2.5 close paren minus end-absolute-value 5 minus the absolute value of 3 open paren negative 2.5 close paren minus 2 end-absolute-value the absolute value of end-absolute-value equals the absolute value of minus 5 minus end-absolute-value 5 minus 9.5 the absolute value of end-absolute-value equals the absolute value of minus 5 minus 4.5 end-absolute-value equals 9.5$ .
Правая часть: $7 - (-2.5) = 9.5 7 minus open paren negative 2.5 close paren equals 9.5$ .
Значение $x = -2.5 x equals negative 2.5$ является решением.

3. Итоговые результаты Объединяя все найденные промежутки и точки:

Из Случая А: $x \in [\frac{7}{3}; 7] x is an element of open bracket seven-thirds ; 7 close bracket$ Из Случая Б: $x = -2.5 x equals negative 2.5$ и $x = 7 x equals 7$

Ответ: $x = -2.5 x equals negative 2.5$ ; $x \in [2 \frac{1}{3}; 7] x is an element of open bracket 2 and one-third ; 7 close bracket$ . ОДЗ: $x \in (- \infty; 7] x is an element of open paren negative infinity ; 7 close bracket$ . Хотите, чтобы я проверил решение аналогичного уравнения с другим значением правой части?

Решить уравнение и найти область допустимых значений: |2х-|5-|3х-2|||=7-х

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов