X^4-10x^2+9 меньше или равно 0

Для решения неравенства $x^4-10x^2+9\le 0$ воспользуемся методом введения новой переменной и методом интервалов. 1. Введение новой переменной Пусть $t=x^2$. Учитывая, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, наложим условие $t\ge 0$. Перепишем исходное неравенство в виде квадратного неравенства относительно $t$: $t^2-10t+9\le 0$2. Нахождение корней квадратного трехчлена Для разложения выражения на множители найдем корни уравнения $t^2-10t+9=0$. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=10$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=9$

Отсюда находим корни: $t_1=1$ $t_2=9$ Разложим левую часть на множители: $(t-1)(t-9)\le 0$3. Обратная подстановка Вернемся к переменной $x$, подставив $x^2$ вместо $t$: $(x^2-1)(x^2-9)\le 0$Разложим каждую скобку по формуле разности квадратов ( $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$): $(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\le 0$4. Метод интервалов Найдем критические точки, при которых выражение равно нулю: $x=-3,x=-1,x=1,x=3$ Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

1. $(-\infty ;-3]$ : выберем $x=-4(-)(-)(-)(-)=\mathbf{+}$ $[-3;-1]$ : выберем $x=-2(-)(-)(-)(+)=\mathbf{-}$ $[-1;1]$ : выберем $x=0(-)(+)(-)(+)=\mathbf{+}$ $[1;3]$ : выберем $x=2(-)(+)(+)(+)=\mathbf{-}$ $[3;+\infty )$ : выберем $x=4(+)(+)(+)(+)=\mathbf{+}$

5. Выбор интервалов Так как в неравенстве стоит знак $\le 0$, нас интересуют интервалы со знаком «минус» и сами точки (границы включены). Это промежутки: $[-3;-1]$ и $[1;3]$ Ответ: $x\in [-3;-1]\cup [1;3]$ Я могу помочь решить другие неравенства или разобрать графическое представление этой функции. Хотите, чтобы я построил график для визуализации этих интервалов? AI responses may include mistakes. For legal advice, consult a professional. Learn more