Решить уравнение: sin(2п-x)-cos(3п/2+x)+1=0

Для решения уравнения $\sin (2\pi -x)-\cos (\frac{3\pi }{2}+x)+1=0$ воспользуемся формулами приведения и методами тригонометрии. 1. Упрощение с помощью формул приведения Применим формулы приведения к каждому слагаемому:

• Для первого слагаемого: $\sin (2\pi -x)$.
  Угол $(2\pi -x)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Функция не меняется на кофункцию, так как используется целое число $\pi$.
  $\sin (2\pi -x)=-\sin x$ Для второго слагаемого: $\cos (\frac{3\pi }{2}+x)$ .
  Угол $(\frac{3\pi }{2}+x)$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Функция меняется на кофункцию (синус), так как используется полуцелое число $\pi$.
  $\cos (\frac{3\pi }{2}+x)=\sin x$

2. Подстановка и преобразование уравнения Подставим полученные значения обратно в исходное уравнение: $(-\sin x)-\left(\sin x\right)+1=0$Приведем подобные слагаемые: $-2\sin x+1=0$Перенесем единицу в правую часть: $-2\sin x=-1$Разделим обе части на $-2$: $\sin x=\frac{1}{2}$ 3. Нахождение корней Уравнение вида $\sin x=a$ имеет общее решение: $x=\left(-1{)}^k\arcsin \right(a)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$Для $a=\frac{1}{2}$ : $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Или, если записывать в виде двух серий решений:

1. $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$