Найти вторую производную функции f(x)=sin²5x

Для нахождения второй производной функции $f\left(x\right)={\sin }^2\left(5x\right)$ воспользуемся правилами дифференцирования сложной функции. 1. Нахождение первой производной $f^{\prime }\left(x\right)$ Исходная функция представляет собой сложную функцию вида $u^2$, где $u=\sin \left(5x\right)$. Применим формулу $(u^n{)}^{\prime }=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$:

1. Внешняя функция — возведение в квадрат: $2\sin \left(5x\right)$. Внутренняя функция — синус: $\left(\sin \right(5x){)}^{\prime }=\cos (5x)\cdot (5x{)}^{\prime }=5\cos \left(5x\right)$.

Объединяем шаги: $f^{\prime }\left(x\right)=2\cdot \sin \left(5x\right)\cdot \cos \left(5x\right)\cdot 5$ $f^{\prime }\left(x\right)=10\sin \left(5x\right)\cos \left(5x\right)$Упрощение первой производной: Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin \left(2\alpha \right)$: $f^{\prime }\left(x\right)=5\cdot \left(2\sin \right(5x\left)\cos \right(5x\left)\right)=5\sin \left(10x\right)$2. Нахождение второй производной $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ Теперь найдем производную от полученного выражения $5\sin \left(10x\right)$:

1. Константа $5$ выносится за знак производной. Производная синуса — косинус: $\left(\sin \right(10x){)}^{\prime }=\cos (10x)\cdot (10x{)}^{\prime }$. Производная внутренней функции $(10x{)}^{\prime }=10$.

Вычисляем: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=5\cdot \cos \left(10x\right)\cdot 10$ $f^{\prime \prime }\left(x\right)=50\cos \left(10x\right)$Ответ: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=50\cos \left(10x\right)$Я могу также найти значения этой производной в конкретных точках или вычислить производные более высоких порядков. Хотите, чтобы я это сделал?