Log(3,(3^(x)-8))=2-x

Для решения уравнения ${\log }_3(3^x-8)=2-x$ воспользуемся определением логарифма и методами решения показательных уравнений. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $3^x-8>0⟹3^x>8$Это условие мы проверим в конце, подставив найденные корни. 2. Преобразование уравнения По определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$), переходим к показательному виду: $3^{2-x}=3^x-8$Используем свойства степеней ( $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$ ): $\frac{3^2}{3^x}=3^x-8$ $\frac{9}{3^x}=3^x-8$ 3. Введение новой переменной Пусть $3^x=t$, где $t>0$. Подставим $t$ в уравнение: $\frac{9}{t}=t-8$ Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t\ne 0$): $9=t^2-8t$ $t^2-8t-9=0$4. Решение квадратного уравнения Решим уравнение $t^2-8t-9=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=8$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-9$

Корни уравнения:

1. $t_1=9$ $t_2=-1$

5. Обратная замена и проверка ОДЗ Вернемся к переменной $x$:

• Случай 1: $3^x=9$
  $3^x=3^2⟹x=2$Проверка ОДЗ: $3^2-8=9-8=1$. Так как $1>0$, корень подходит. Случай 2: $3^x=-1$
  Показательная функция $a^x$ всегда принимает только положительные значения ( $3^x>0$).
  Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $x=2$ Хотите, чтобы я разобрал аналогичное логарифмическое уравнение с другим основанием?