Решить уравнение в целых числах: x^2-6xy+13y2=100

Для решения уравнения $x^2-6xy+13y^2=100$ в целых числах наиболее эффективным методом является выделение полного квадрата. Это позволит ограничить область поиска значений переменных. Шаг 1: Преобразование уравнения Выделим полный квадрат для членов, содержащих $x$ и $y$: $x^2-6xy+9y^2+4y^2=100$ Заметим, что первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата разности $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$: $(x-3y{)}^2+4y^2=100$ Разделим всё уравнение на 4 для упрощения (необязательно, но это наглядно показывает ограничения для $y$): $\frac{(x-3y{)}^2}{4}+y^2=25$ Шаг 2: Определение возможных значений $y$ Так как $(x-3y{)}^2\ge 0$, то из уравнения $(x-3y{)}^2+4y^2=100$ следует, что: $4y^2\le 100$ $y^2\le 25$ Следовательно, $y$ может принимать целые значения в интервале $[-5,5]$. Шаг 3: Перебор и поиск решений Проверим каждое целое значение $y$ и вычислим соответствующие значения $x$:

Итоговый список решений $(x;y)$: Выпишем все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:

1. $(10;0)$ $(-10;0)$ $(17;3)$ $(1;3)$ $(-1;-3)$ $(-17;-3)$ $(18;4)$ $(6;4)$ $(-6;-4)$ $(-18;-4)$ $(15;5)$ $(-15;-5)$

Всего уравнение имеет 12 решений в целых числах. Хотите, чтобы я проверил аналогичным методом другое диофантово уравнение?