Решите иррациональное уравнение корень x^2-8=корень -2x

Для решения уравнения $\sqrt{x^2-8}=\sqrt{-2x}$ воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат и учетом области допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Так как корень четной степени определен только для неотрицательных чисел, подкоренные выражения должны удовлетворять условиям:

• $x^2-8\ge 0$ $-2x\ge 0⟹x\le 0$

2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x^2-8}{)}^2=(\sqrt{-2x}{)}^2$ $x^2-8=-2x$3. Решение квадратного уравнения Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2+2x-8=0$Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта: $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$ $\sqrt{D}=6$ Находим корни: $x_1=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$ $x_2=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4$ 4. Проверка корней Поскольку при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни, необходимо проверить их подстановкой в исходное уравнение или сверить с ОДЗ.

• Проверка $x_1=2$:
  Подставим в правую часть: $\sqrt{-2\cdot 2}=\sqrt{-4}$ .
  Корень из отрицательного числа не определен (в рамках действительных чисел).
  Следовательно, $x=2$ — посторонний корень. Проверка $x_2=-4$:
  Левая часть: $\sqrt{(-4{)}^2-8}=\sqrt{16-8}=\sqrt{8}$
  Правая часть: $\sqrt{-2\cdot \left(-4\right)}=\sqrt{8}$
  $\sqrt{8}=\sqrt{8}$ — верно.

Ответ: $x=-4$ Я могу также помочь с решением систем уравнений или неравенств, если это необходимо.