Вычислить: i/1-i. 5/1+2i

Для решения данных выражений необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное число (число с противоположным знаком перед мнимой частью). Напомним, что $i^2=-1$. 1. Вычисление $\frac{i}{1-i}$ Чтобы избавиться от $i$ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1+i)$: $\frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

1. Раскрываем скобки в числителе:
   $i\cdot 1+i\cdot i=i+i^2=i-1$ Раскрываем скобки в знаменателе (разность квадратов):
   $1^2-i^2=1-\left(-1\right)=1+1=2$ Записываем результат:
   $\frac{-1+i}{2}=-0.5+0.5i$

2. Вычисление $\frac{5}{1+2i}$ Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1-2i)$: $\frac{5(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

1. Раскрываем скобки в числителе:
   $5\cdot 1-5\cdot 2i=5-10i$ Раскрываем скобки в знаменателе:
   $1^2-(2i{)}^2=1-4i^2=1-4(-1)=1+4=5$ Сокращаем дробь:
   $\frac{5-10i}{5}=\frac{5}{5}-\frac{10i}{5}=1-2i$

Итоговые ответы:

• $\frac{i}{1-i}=-0.5\mathbf{+}0.5\mathbf{i}$ $\frac{5}{1+2i}=\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{i}$

Если вам нужно выполнить другие операции с комплексными числами (возведение в степень или извлечение корня), я могу составить пошаговый алгоритм для этих вычислений.