Найдите производную функции f(x)=x(x^2-4) g(x)=1\3x-5 f(x)=(1-5x)^2 g(x)=(1-5x)^2 найдите значение производной функции f(x)=3x+tgx в точке x0=п\6

Производные заданных функций равны $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4$, $g^{\prime }\left(x\right)=1/3$, $f^{\prime }\left(x\right)=50x-10$, $g^{\prime }\left(x\right)=50x-10$, а значение производной в точке $x_0=\pi /6$ составляет $13/3$. Шаг 1: Дифференцирование функции f(x) = x(x^2 - 4) Для нахождения производной раскроем скобки в выражении функции: $f\left(x\right)=x^3-4x$ Применяя правило дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, получаем: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3{)}^{\prime }-(4x{)}^{\prime }=3x^2-4$ Шаг 2: Дифференцирование функции g(x) = 1/3x - 5 Данная функция является линейной. Производная суммы равна сумме производных, а производная константы равна нулю: $g^{\prime }\left(x\right)=(1/3x{)}^{\prime }-(5{)}^{\prime }=1/3-0=1/3$ Шаг 3: Дифференцирование функций f(x) и g(x) = (1 - 5x)^2 Обе функции идентичны. Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}\cdot u^{\prime }$: $f^{\prime }\left(x\right)=2(1-5x{)}^{2-1}\cdot (1-5x{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=2(1-5x)\cdot \left(-5\right)=-10(1-5x)=50x-10$ Аналогично для $g\left(x\right)$: $g^{\prime }\left(x\right)=50x-10$ Шаг 4: Вычисление значения производной f(x) = 3x + tgx в точке x0 = pi/6 Сначала найдем общую производную функции: $f^{\prime }\left(x\right)=(3x{)}^{\prime }+(\tan x{)}^{\prime }=3+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ Теперь подставим значение $x_0=\pi /6$ в полученное выражение: $f^{\prime }(\pi /6)=3+\frac{1}{{\cos }^2(\pi /6)}$ Так как $\cos (\pi /6)=\sqrt{3}/2$ , то ${\cos }^2(\pi /6)=3/4$: $f^{\prime }(\pi /6)=3+\frac{1}{3/4}=3+4/3=13/3$ Ответ: Производные: $f^{\prime }\left(x\right)=\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{4}$, $g^{\prime }\left(x\right)=\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{3}$, $f^{\prime }\left(x\right)=50\mathbf{x}\mathbf{-}10$, $g^{\prime }\left(x\right)=50\mathbf{x}\mathbf{-}10$. Значение производной в точке $x_0$: $f^{\prime }(\pi /6)=13\mathbf{/}\mathbf{3}$ Уточните, требуется ли геометрический смысл производной в данных точках или нахождение уравнения касательной?