Решите квадратное неравенство x²-3x-10≤0

Для решения квадратного неравенства $x^2-3x-10\le 0$ воспользуемся методом интервалов. 1. Нахождение корней квадратного трехчлена Сначала приравняем выражение к нулю, чтобы найти критические точки: $x^2-3x-10=0$Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=3$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=-10$

Подбором находим корни: $x_1=5$ $x_2=-2$ 2. Определение интервалов Эти корни разбивают числовую прямую на три промежутка:

1. $(-\infty ;-2)$ $[-2;5]$ $(5;+\infty )$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ( $a=1>0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что значения функции отрицательны (или равны нулю) между корнями. 3. Проверка знаков Выберем пробные точки из каждого интервала для проверки знака выражения $f\left(x\right)=x^2-3x-10$:

• Для $(-\infty ;-2)$, возьмем $x=-3$: $(-3{)}^2-3(-3)-10=9+9-10=8>0$ Для $[-2;5]$, возьмем $x=0$: $0^2-3\left(0\right)-10=-10<0$ Для $(5;+\infty )$, возьмем $x=6$: $6^2-3\left(6\right)-10=36-18-10=8>0$

4. Ответ Поскольку условие неравенства $\le 0$, нас интересует отрицательный промежуток, включая сами корни (точки закрашенные). Решение: $x\in [-2;5]$Или в виде двойного неравенства: $-2\le x\le 5$Я могу помочь вам с решением других неравенств или разбором аналогичных задач с параметрами. Хотите, чтобы я подготовил еще один пример для закрепления?