Решите один из примеров1). докажите иррациональность числа корень из 7^4 минус 2*корень из 32). при каких целых значениях а квадратное уравнение ax^2+24x+11=0имеет рациональные корни, сумма которых целое число?3). определите простым или составным является число 3^30-2*6^15+2^32

Для решения выберем третье задание, так как оно требует применения изящного алгебраического тождества для анализа структуры числа. ️ Шаг 1: Преобразование выражения Исходное число: $3^{30}-2\cdot 6^{15}+2^{32}$. Представим каждый член выражения в удобном виде, используя свойства степеней:

1. $3^{30}=(3^{15}{)}^2$ $2\cdot 6^{15}=2\cdot (3\cdot 2{)}^{15}=2\cdot 3^{15}\cdot 2^{15}=3^{15}\cdot 2^{16}$ $2^{32}=(2^{16}{)}^2$

Теперь подставим эти значения в выражение: $(3^{15}{)}^2-3^{15}\cdot 2^{16}+(2^{16}{)}^2$️ Шаг 2: Применение алгебраического тождества Пусть $a=3^{15}$ и $b=2^{16}$. Тогда выражение принимает вид $a^2-ab+b^2$. Воспользуемся методом дополнения до полного квадрата суммы: $a^2-ab+b^2=(a^2+2ab+b^2)-3ab=(a+b{)}^2-3ab$Подставим значения $a$ и $b$ обратно: $(3^{15}+2^{16}{)}^2-3\cdot 3^{15}\cdot 2^{16}=(3^{15}+2^{16}{)}^2-3^{16}\cdot 2^{16}$Заметим, что $3^{16}\cdot 2^{16}=(3^8\cdot 2^8{)}^2=(6^8{)}^2$. ️ Шаг 3: Разложение на множители Мы получили разность квадратов вида $X^2-Y^2$, которая раскладывается как $(X-Y)(X+Y)$: $(3^{15}+2^{16}{)}^2-(6^8{)}^2=(3^{15}+2^{16}-6^8)(3^{15}+2^{16}+6^8)$Поскольку оба множителя являются целыми числами и каждый из них очевидно больше 1 (так как $3^{15}$ и $2^{16}$ значительно превосходят $6^8=1679616$), исходное число представлено в виде произведения двух натуральных чисел, отличных от 1. Следовательно, оно является составным. Ответ: Число $3^{30}-2\cdot 6^{15}+2^{32}$ является составным. Хотите ли вы увидеть решение второго задания с поиском целых значений параметра $a$ через дискриминант?