Решите уравнение: 2sin^2x+5cosx+1=0

Для решения уравнения $2{\sin }^{2}x+5\cos x+1=0$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и методом введения новой переменной. 1. Приведение к одной функции Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, чтобы выразить ${\sin }^{2}x$ через ${\cos }^{2}x$: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$Подставим это выражение в исходное уравнение: $2(1-{\cos }^{2}x)+5\cos x+1=0$2. Раскрытие скобок и упрощение $2-2{\cos }^{2}x+5\cos x+1=0$ $-2{\cos }^{2}x+5\cos x+3=0$Умножим всё уравнение на $-1$ для удобства вычислений: $2{\cos }^{2}x-5\cos x-3=0$3. Замена переменной Пусть $\cos x=t$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2-5t-3=0$4. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25+24=49$ $\sqrt{D}=7$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-0,5$ 5. Обратная замена Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_1=3$ — не подходит, так как $3>1$ (косинус не может быть больше единицы). $t_2=-0,5$ — подходит.

Решим уравнение $\cos x=-0,5$: $x=\pm \arccos (-0,5)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на определенном числовом промежутке?