Решите уравнение: 3^(2x+1)-3^(1-2x)+8=0

Для решения уравнения $3^{2x+1}-3^{1-2x}+8=0$ воспользуемся свойствами степеней и методом введения новой переменной. 1. Упрощение выражения Используя свойство $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$ и $a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$ , преобразуем слагаемые:

• $3^{2x+1}=3^1\cdot 3^{2x}=3\cdot 3^{2x}$ $3^{1-2x}=\frac{3^1}{3^{2x}}=\frac{3}{3^{2x}}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $3\cdot 3^{2x}-\frac{3}{3^{2x}}+8=0$ 2. Введение новой переменной Пусть $t=3^{2x}$. Заметим, что по определению показательной функции $t>0$. Запишем уравнение относительно $t$: $3t-\frac{3}{t}+8=0$ Умножим все части уравнения на $t$ (так как $t\ne 0$), чтобы избавиться от знаменателя: $3t^2+8t-3=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант уравнения $3t^2+8t-3=0$: $D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 3\cdot \left(-3\right)=64+36=100$ $\sqrt{D}=10$ Находим корни $t$:

• $t_1=\frac{-8+10}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ $t_2=\frac{-8-10}{2\cdot 3}=\frac{-18}{6}=-3$

4. Обратная подстановка Учитывая условие $t>0$, корень $t_2=-3$ является посторонним и не подходит для решения. Рассматриваем только $t_1=\frac{1}{3}$ : $3^{2x}=\frac{1}{3}$ $3^{2x}=3^{-1}$Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: $2x=-1$ $x=-0,5$Ответ: $x=-0,5$ Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение или проверил решение другого примера?