Решите уравнение: 4^x+2^x-20=0

Для решения уравнения $4^x+2^x-20=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Заметим, что $4^x$ можно представить как $(2^2{)}^x$, что равносильно $(2^x{)}^2$. Перепишем уравнение: $(2^x{)}^2+2^x-20=0$2. Замена переменной Пусть $2^x=t$.

Важное условие: Так как показательная функция всегда положительна, необходимо, чтобы $t>0$.

Теперь уравнение принимает вид обычного квадратного уравнения: $t^2+t-20=0$3. Решение квадратного уравнения Решим уравнение через дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-20\right)=1+80=81$Находим корни $t$: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $t_1=\frac{-1+9}{2}=\frac{8}{2}=4$ $t_2=\frac{-1-9}{2}=\frac{-10}{2}=-5$ 4. Обратная замена Проверим корни на соответствие условию $t>0$:

• $t_1=4$ — подходит. $t_2=-5$ — не подходит, так как $2^x$ не может быть отрицательным числом.

Решаем уравнение для $t_1$: $2^x=4$ $2^x=2^2$ $x=2$Ответ: $x=2$ Хотите, чтобы я подобрал несколько похожих примеров для закрепления темы? AI responses may include mistakes. For legal advice, consult a professional. Learn more