Решите уравнение корень из х +корень из 13-х =5

Для решения уравнения $\sqrt{x}+\sqrt{13-x}=5$ воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

• $x\ge 0$ $13-x\ge 0⟹x\le 13$

Таким образом, решение должно находиться в промежутке: $x\in [0,13]$. 2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x}+\sqrt{13-x}{)}^2=5^2$ Применим формулу сокращенного умножения $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: $x+2\sqrt{x(13-x)}+13-x=25$ Упростим выражение (заметим, что $x$ и $-x$ взаимоуничтожаются): $13+2\sqrt{13x-x^2}=25$ 3. Изоляция корня Перенесем число 13 в правую часть: $2\sqrt{13x-x^2}=25-13$ $2\sqrt{13x-x^2}=12$ Разделим обе части на 2: $\sqrt{13x-x^2}=6$ 4. Второе возведение в квадрат Снова возведем в квадрат, чтобы избавиться от корня: $13x-x^2=6^2$ $13x-x^2=36$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2-13x+36=0$5. Решение квадратного уравнения Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом. Для уравнения $x^2-13x+36=0$:

• Сумма корней $x_1+x_2=13$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=36$

Числа, удовлетворяющие этим условиям: 4 и 9. 6. Проверка Оба корня входят в ОДЗ ( $[0,13]$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение:

1. При $x=4$:
   $\sqrt{4}+\sqrt{13-4}=2+\sqrt{9}=2+3=5$ (Верно) При $x=9$:
   $\sqrt{9}+\sqrt{13-9}=3+\sqrt{4}=3+2=5$ (Верно)

Ответ: 4; 9. Хотите, чтобы я решил аналогичное иррациональное уравнение другим способом, например, через замену переменной?