Решите уравнение: log9 по основанию (√2 sinx + sin2x + 9) = 1

Для решения уравнения ${\log }_{\sqrt{2}\sin x+\sin 2x+9}9=1$ воспользуемся определением логарифма и свойствами тригонометрических функций. 1. Переход к алгебраическому уравнению По определению логарифма ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$. При этом основание должно быть положительным и не равным единице ( $a>0,a\ne 1$). $\sqrt{2}\sin x+\sin 2x+9=9^1$ $\sqrt{2}\sin x+\sin 2x+9=9$ Вычтем 9 из обеих частей уравнения: $\sqrt{2}\sin x+\sin 2x=0$ 2. Решение тригонометрического уравнения Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sqrt{2}\sin x+2\sin x\cos x=0$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x(\sqrt{2}+2\cos x)=0$ Это уравнение распадается на два независимых случая: Случай А: $\sin x=0$ $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$Случай Б: $\sqrt{2}+2\cos x=0$ $2\cos x=-\sqrt{2}$ $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 3. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Основание логарифма должно удовлетворять условиям:

1. $\sqrt{2}\sin x+\sin 2x+9>0$ $\sqrt{2}\sin x+\sin 2x+9\ne 1$

Проверим наши корни:

• Если $\sin x=0$, то $\sin 2x=2\sin x\cos x=0$. Подставляем в выражение: $0+0+9=9$. Условия $9>0$ и $9\ne 1$ выполняются. Если $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , то из уравнения $\sqrt{2}\sin x+\sin 2x=0$ следует, что значение выражения в основании также будет равно 9. Условия $9>0$ и $9\ne 1$ выполняются.

Все найденные значения являются решениями. Ответ: $x=\pi k;x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n;k,n\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке?