2log5(x)-log2(x)=log2(0,8)

Для решения уравнения $2{\log }_5\left(x\right)-{\log }_2\left(x\right)={\log }_2(0,8)$ необходимо привести логарифмы к одному основанию и использовать свойства логарифмов. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Так как аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x>0$2. Приведение к одному основанию Используем формулу перехода к новому основанию ${\log }_a\left(b\right)=\frac{{\log }_c\left(b\right)}{{\log }_c\left(a\right)}$ . Приведем все логарифмы к основанию 2: ${\log }_5\left(x\right)=\frac{{\log }_2\left(x\right)}{{\log }_2\left(5\right)}$ Подставим это в исходное уравнение: $2\cdot \frac{{\log }_2\left(x\right)}{{\log }_2\left(5\right)}-{\log }_2\left(x\right)={\log }_2(0,8)$ 3. Упрощение уравнения Вынесем ${\log }_2\left(x\right)$ за скобки: ${\log }_2\left(x\right)(\frac{2}{{\log }_2\left(5\right)}-1)={\log }_2(0,8)$ Преобразуем выражение в скобках. Заметим, что $1={\log }_2\left(2\right)$: $\frac{2}{{\log }_2\left(5\right)}-1=2{\log }_5\left(2\right)-1={\log }_5\left(2^2\right)-{\log }_5\left(5\right)={\log }_5\left(4\right)-{\log }_5\left(5\right)={\log }_5\left(\frac{4}{5}\right)$ Так как $4/5=0,8$, выражение примет вид: ${\log }_2\left(x\right)\cdot {\log }_5(0,8)={\log }_2(0,8)$4. Нахождение x Используем свойство ${\log }_2(0,8)=\frac{{\log }_5(0,8)}{{\log }_5\left(2\right)}$ : ${\log }_2\left(x\right)\cdot {\log }_5(0,8)=\frac{{\log }_5(0,8)}{{\log }_5\left(2\right)}$ Разделим обе части уравнения на ${\log }_5(0,8)$ (так как $0,8\ne 1$, это значение не равно нулю): ${\log }_2\left(x\right)=\frac{1}{{\log }_5\left(2\right)}$ По свойству обратных логарифмов $\frac{1}{{\log }_a\left(b\right)}={\log }_b\left(a\right)$ : ${\log }_2\left(x\right)={\log }_2\left(5\right)$Отсюда следует: $x=5$Проверка: Значение $x=5$ входит в ОДЗ ( $5>0$). Ответ: $x=5$Я могу помочь вам с решением других логарифмических уравнений или систем уравнений, если это потребуется.