Решите уравнение 4sin^2x+8cosx+1=0.в ответе укажите наибольший отрицательный его корень:а).-p\6. б).-4p\3.в).-2p\3 г).-p\3

Для решения уравнения $4{\sin }^{2}x+8\cos x+1=0$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. 1. Преобразование уравнения Заменим ${\sin }^{2}x$ в исходном уравнении: $4(1-{\cos }^{2}x)+8\cos x+1=0$ $4-4{\cos }^{2}x+8\cos x+1=0$ $-4{\cos }^{2}x+8\cos x+5=0$Умножим всё уравнение на $-1$ для удобства: $4{\cos }^{2}x-8\cos x-5=0$2. Решение квадратного уравнения Пусть $\cos x=t$, где $\left|t\right|\le 1$. $4t^2-8t-5=0$Найдем дискриминант: $D=(-8{)}^2-4\cdot 4\cdot (-5)=64+80=144$ $\sqrt{D}=12$ Корни уравнения: $t_1=\frac{8+12}{8}=\frac{20}{8}=2.5$ $t_2=\frac{8-12}{8}=\frac{-4}{8}=-0.5$ Так как значение косинуса не может превышать $1$, корень $t_1=2.5$ не подходит. 3. Обратная замена Решим уравнение для $t_2$: $\cos x=-0.5$ $x=\pm \arccos \left(-0.5\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 4. Поиск наибольшего отрицательного корня Распишем серии решений:

1. $x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$
   • При $k=-1$: $x=\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}$
   $x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$
   • При $k=0$: $x=-\frac{2\pi }{3}$

Сравним полученные отрицательные корни: $-\frac{2\pi }{3}$ больше, чем $-\frac{4\pi }{3}$ , так как оно находится ближе к нулю на числовой прямой. Среди предложенных вариантов: а) $-\pi /6$ — не является корнем. б) $-4\pi /3$ — корень, но не наибольший. в) $-2\pi /3$ — наибольший отрицательный корень. г) $-\pi /3$ — не является корнем. Правильный ответ: в) -2p\3 Хотите, чтобы я подобрал еще несколько подобных задач для закрепления метода замены переменной в тригонометрии?