Решите уравнения: 1)4cos^2x-1=0 2)2sin^2x-5cosx+1=0 3)1+2sin2x+2cos^2x=0

Ниже представлено подробное решение трех тригонометрических уравнений. 1) $4{\cos }^{2}x-1=0$ Решение:

1. Перенесем единицу в правую часть и разделим на 4:
   ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$ Извлечем квадратный корень:
   $\cos x=\pm \frac{1}{2}$ Это дает две серии решений:
   • $\cos x=\frac{1}{2}⟹x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$ $\cos x=-\frac{1}{2}⟹x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$
   Объединяя эти результаты в одну общую формулу:
   Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

2) $2{\sin }^{2}x-5\cos x+1=0$ Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, чтобы свести уравнение к одной функции:
   $2(1-{\cos }^{2}x)-5\cos x+1=0$ $2-2{\cos }^{2}x-5\cos x+1=0$ $-2{\cos }^{2}x-5\cos x+3=0$ Умножим на $-1$ для удобства:
   $2{\cos }^{2}x+5\cos x-3=0$ Введем замену $t=\cos x$, где $\left|t\right|\le 1$:
   $2t^2+5t-3=0$ Найдем дискриминант:
   $D=5^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49$ Корни уравнения:
   • $t_1=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-5-7}{4}=-3$ (не подходит, так как $\left|t\right|\le 1$)
   Возвращаемся к замене:
   $\cos x=\frac{1}{2}$
   Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

3) $1+2\sin 2x+2{\cos }^{2}x=0$ Решение:

1. Разложим единицу по основному тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$) и распишем синус двойного угла ( $2\sin 2x=4\sin x\cos x$):
   $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+4\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=0$ Приведем подобные слагаемые:
   ${\sin }^{2}x+4\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=0$ Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на ${\cos }^{2}x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$):
   $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{4\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{3{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ ${\tan }^{2}x+4\tan x+3=0$ Введем замену $z=\tan x$:
   $z^2+4z+3=0$ По теореме Виета или через дискриминант находим корни:
   • $z_1=-1$ $z_2=-3$
   Возвращаемся к замене:
   • $\tan x=-1⟹x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ $\tan x=-3⟹x=-\arctan \left(3\right)+\pi k$

Ответ: $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k;x=-\arctan \left(3\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления материала или разобрать любой из этапов решения более подробно.